Re: Werken met machten

Heb je een leuke tutorial, een duidelijke uitleg van een bepaald onderwerp, een interessante minicursus of heb je een leuk trucje gevonden, post het hier.
SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14217
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Werken met machten

Bericht door SafeX » 04 mei 2014, 12:06

Wat is een macht?
Symbool: a^b, we zeggen a tot de macht b, a het grondtal (geen grondgetal) en b de exponent.
Hoe te begrijpen? Door ermee te werken volgens de RekenRegels (RR).
We beginnen met a reëel getal en b een telgetal. Bv:

dit is de definitie!
We zien dat de exponent 3 het aantal factoren 2 telt.
(Zie voor termen en factoren: Tutorials: Termen en Factoren.)
Vb:

Als we deze betekenis aanhouden volgen de RR heel eenvoudig:







Probeer deze RR te begrijpen met eenvoudige getallenvoorbeelden, bv:



immers: 2^3: 3 factoren 2, 2^5: 5 factoren 2. Bij vermenigvuldiging staan er 3+5 factoren 2.

Tot nu toe waren de exponenten telgetallen in feite tel je het aantal zelfde factoren.
We gaan nu deze RR uitbreiden voor exponent 0.

Wat zou a^0 voor betekenis hebben ( je kan moeilijk 0 factoren a gaan tellen(?))
We gaan uit van RR2:



en stellen q=p, dit geeft:



Maar de breuk:



Conclusie: per definitie is:



Verrassend, want kennelijk is dit onafhankelijk van het grondtal a. Op dit moment sluiten we a=0 uit.

Waarom zullen we q>p niet bekijken, dit betekent:



is per definitie geldig voor alle getallen p en q uit de verzameling Z.

En nu geldt dus ook:



voor alle reële getallen a uitgezonderd a=0.

Na dit succes(!) gaan we verder met RR3 ...

We bekijken een welbekend vb:



Dit zou betekenen (pas RR3 toe):



Nu zien we opeens een breuk als exponent, algemeen:



Maar pas op a<0 is nu niet mogelijk (ga dat na!)


Tenslotte: per definitie stellen we deze RR geldig voor alle p en q uit Q, met de restrictie dat het grondtal a positief moet zijn.

De RR 1, 2 en 3 worden uitgebreid met:





Kom zelf met vb ...

Plaats reactie