driehoeken en quaternionen

Bericht door **op=op** » 27 sep 2013, 12:36

Op deze site vond ik de volgende aardige benaderingen van Quaternionen m.b.v. driehoeken.

$V = \{(A,B,C) | A,B,C \in \mathbb{R}^3 \wedge A \neq B \}$ .
Een element van $V$ noemen we een geordende driehoek.
We maken nog een afbeelding die aan een geordende driehoek zijn in- en uitproduct toevoegt

$f : V \to \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 : (A,B,C) \mapsto \frac{1}{|AB|^2}(AB\cdot AC,AB \times AC})$

Het is duidelijk dat b.v. $f((A,B,C))$ en $f((B,A,C))$ verschillende waarden kunnen opleveren.

$f((A,B,C)) = f((P,Q,R))$ als deze geordende driehoeken gelijkvormig zijn, d.w.z. als
$\frac{|AC|}{|AB|} = \frac{|PR|}{|PQ|}$ en hoek $A$ = hoek $P$ .
De klasse van gelijkvormige geordende driehoeken waartoe $(A,B,C)$ behoort geven we aan met $[u,v]$ als $f((A,B,C))=(u,v)$ .
$[u,v]$ noemen we vanaf nu een driehoek.

We kunnen driehoeken optellen en vermenigvuldigen.
Optellen is eenvoudig:
$[u,v] + [x,y] = [u+x,v+y]$
Vermenigvuldigen:
$[u,v].[x,y] = [s,t]$
Er zijn altijd twee geordende driehoeken te vinden met één gemeenschappelijke tussenzijde zodat
$f((A,B,C)) = (u,v)$ en $f((A,Q,B)) = (x,y)$ (ga na!).
Dan is $f((A,Q,C)) = (s,t)$ .
$[u,v].[x,y] = [ux-v\cdot y,uy+xv+v\times y]$

Driehoeken zijn quaternionen.
Kies een basis $\{i,j,k\}$ in $\mathbb{R}^3$ .
Dan is
$[a_0,v] = [a_0,a_1 i + a_2 j + a_3 k]$ met $a_1,a_2,a_3\in\mathbb{R}$ .
Schrijf ter verkorting $[0,i] = i$ enz. en $[a,0] = a$ , dan is
$[a_0,v] = a_0+a_1 i + a_2 j + a_3 k$ (driehoek is quaternion).
Rekenen met quaternionen komt overeen met rekenen met driehoeken.

Driehoeken zijn ook complexe getallen.
$[u,v] = r(\cos(\phi) + I\sin(\phi))$ waarbij
$I$ een driehoek is waarvoor geldt $I^2=-1$ ,
en als $f((A,B,C)=(u,v)$ , dan is hoek A = $\phi$
en $r = \frac{|CD|}{|AB|}$ .