Transformatie van stochastische veranderlijken

[sarah222]

Hallo allemaal,

ik zit met het volgende probleem:
Ik heb de verdelingen van de stochastische veranderlijken X en Y. Beiden kunnen in een interval tussen [0, 1] varieren. Ik wil de verdeling van Z = te weten komen.
Er zijn verschillende manieren op dit op te lossen: de karakteristieke/momentgenererende functies berekenen, conditioneren op een veranderlijke (e.g. ), rechtoe rechtaan redeneren, etc.

Dit werkt allemaal, echter, ik zou het op een andere manier willen proberen, namelijk door gebruik te maken van een transformatie m.b.v. een bijectie g.

Indien ik een afbeelding kan vinden die 1-1 is, en bovendien de inverse kan vinden, dan geldt immers dat

Probleem is dat ik niet direct een afbeelding vindt dit tevens een bijectie is.

De afbeelding is geen bijectie, aangezien deze voor telkens op wordt afgebeeld. is wel een bijectie, maar is moeilijk te berekenen (laat staan dat ik daar dan nog de jacobiaan van moet vinden). Kan iemand mij hier op het juiste spoor zetten?

[SafeX]

Probeer eens Z=X²Y en U=XY.

[sarah222]

Bedankt voor het antwoord!

ik heb wel bedenkingen bij


In dat geval worden alle (0,y) afgebeeld op (0,0). Dat is toch geen bijectie, of zie ik het verkeerd?
(indien x of y niet 0 kunnen zijn vormt zou dat inderdaad geen probleem zijn)

[SafeX]

Ja, X kan geen 0 zijn, dus die moet je uitsluiten.

[sarah222]

Je bedoelt dus een gevalsonderscheid maken? Maar wat dan te doen in geval X=0 ?

[SafeX]

Dan is Z=0 en dat beschouw je apart.

[sarah222]

Dat lijkt inderdaad te werken.

Bedankt voor het antwoord !

[SafeX]

Ok, laat eens zien ... (als je tijd hebt natuurlijk).

[sarah222]

Eigenlijk vermoed ik dat ik het geval X = 0 zelfs niet apart hoefde te beschouwen, aangezien we met continue verdelingen te maken hebben. Het particuliere geval X=0 heeft dus sowieso al een kans 0.

[SafeX]

Helemaal correct.