begint weer met kansrekenen

[bhengeveld]

Beste forumleden

Mijn naam is Bram, net aangemeld. Het is zo'n 9 jaar geleden dat ik me voor het laatst heb beziggehouden met kansrekenen, maar ik heb de boeken weer eens uit de kast gehaald. Nu kwam ik de volgende vraag tegen, waar ik helaas geen antwoord voor heb achter in het boek. Mijn vraag is dus; is onderstaande uitwerking van de vraag correct?

Vraagstuk:
In een vaas bevinden zich 10 rode, 7 gele en 10 blauwe (tot. 27) knikkers.
Er wordt 9 maal een knikker uitgetrokken, mét terugleggen.
Vraag: Wat is de kans op drie drietallen knikkers van dezelfde kleur?

Uitwerking:
Bepalen van mogelijke drietallen van dezelfde kleur:

Optie 1. allemaal dezelfde kleur:
3 x 3 blauwe (bbb)
3 x 3 rode (rrr)
(er zitten te weinig gele ballen in voor 3 x 3 gele)

Optie 2. tweemaal een drietal blauw, rood of geel + drietal van andere kleur:
rrg
rrb
ggr
ggb
bbr
bbg

Voor elk van de 6 verdelingen van drietallen zijn er 9!/6!x3! = 84 verschillende mogelijkheden in 9 trekkingen

Optie 3. drie verschillende drietallen (rgb), met 9!/3!x3!x3! = 1680 mogelijkheden voor drie verschillende drietallen

Je rekent per optie uit wat de kansen voor de optie zijn:

Optie 1. P(bbb óf rrr) = 2 x ((10/27)^9)
(van blauw en rood bevinden zich gelijke hoeveelheden knikkers in de vaas -> x2)

Optie 2. P(rrg of bbg) = 84x (2 x ((10/27)^6 x (7/27)^3))
P(ggr of ggb) = 84 x (2 x ((7/27)^6 x (10/27)^3))
P(bbr of rrb) = 84 x (2 x (10/27)^9)

Optie 3. P(rgb) = 1680 x ((10/27^6 x 7/27^3))

Aan het einde van de rit tel je de 5 berekende kansen op en kom je op P ~= 0,11

Correct?

[arie]

Welkom op het forum.

Wat betreft je vraag:
let op: het is een trekking MET teruglegging, je kan dus ook 9 keer geel trekken (terwijl er maar 7 gele knikkers in de vaas zitten).

Kijk eerst eens naar het eerste drietal:
Hoe groot is de kans dat de eerste knikker rood is?
En hoe groot is de kans dat in dat geval ook de volgende 2 knikkers rood zijn?
Hoe groot is de kans dat de eerste knikker blauw is?
En hoe groot is de kans dat in dat geval ook de volgende 2 knikkers blauw zijn?
Hoe groot is de kans dat de eerste knikker geel is?
En hoe groot is de kans dat in dat geval ook de volgende 2 knikkers geel zijn?

Hoe groot is dus de kans dat de eerste 3 knikkers dezelfde kleur hebben?

Je voert dit 3 keer uit (3 drietallen), hoe groot is de kans dat je in alle 3 de keren 3 knikkers van dezelfde kleur hebt?

[bhengeveld]

Hallo arie, bedankt voor je reactie

En idd, natuurlijk kan je met teruglegging ook 9 gele pakken, helemaal overheen gekeken.

1e drietal:

P(rood) = 10/27
P(1 en 2 rood) = (10/27)^2
P(1 t/m 3 rood) = (10/27)^3

idem voor blauw
P(1 t/m 3 blauw) = (10/27)^3

P(geel) = 7/27
P(1 en 2 geel) = (7/27)^2
P(1 t/m 3 geel) = (7/27)^3

Om de combinatie van 3 rode knikkers, 3 blauwe en 3 gele precies achter elkaar te trekken heb je een kans van:

Code: Selecteer alles

10^3   10^3   7^3    10^6 x 7^3
---- x ---- x ---- = ---------- = (10/27)^6 x (7/27)^3 
27^3   27^3   27^3      27^9

Deze vindt je terug in optie 3

Maar de volgorde van trekking is toch niet van belang? Je pakt 9 knikkers, met teruglegging. Als de eerste bal rood is, kan de tweede blauw zijn en de derde geel. Als dit patroon zich 3 maal herhaalt kom je uit op 3 rode, 3 gele en 3 blauw ballen (optie 3). Dit resultaat kan je op 1680 manieren bereiken.

uitwerking 2
Bepalen van mogelijke drietallen van dezelfde kleur:

Optie 1. allemaal dezelfde kleur:
3 x 3 blauwe (bbb)
3 x 3 rode (rrr)
3 x 3 gele (ggg)

Optie 2. tweemaal een drietal blauw, rood of geel + drietal van andere kleur:
rrg
rrb
ggr
ggb
bbr
bbg

Voor elk van de 6 verdelingen van drietallen zijn er 9!/6!x3! = 84 verschillende mogelijkheden in 9 trekkingen

Optie 3. drie verschillende drietallen (rgb), met 9!/3!x3!x3! = 1680 mogelijkheden voor drie verschillende drietallen

Je rekent per optie uit wat de kansen voor de optie zijn:

Optie 1. P(bbb óf rrr) = 2 x ((10/27)^9)
(van blauw en rood bevinden zich gelijke hoeveelheden knikkers in de vaas -> x2)
P(ggg) = (7/27)^9

Optie 2. P(rrg of bbg) = 84x (2 x ((10/27)^6 x (7/27)^3))
P(ggr of ggb) = 84 x (2 x ((7/27)^6 x (10/27)^3))
P(bbr of rrb) = 84 x (2 x (10/27)^9)

Optie 3. P(rgb) = 1680 x ((10/27)^6 x (7/27)^3)

Aan het einde van de rit tel je de 6 berekende kansen op

[arie]

Ik heb gekeken naar de groepen van 3 zoals de knikkers na elkaar getrokken worden.
In dat geval is
kans op 3 gelijke kleuren na elkaar = (kans 1e rood EN (2e en 3e rood)) OF
(kans 1e blauw EN (2e en 3e blauw)) OF (kans 1e geel EN (2e en 3e geel))

Bij onafhankelijke kansen staat de "EN" voor vermenigvuldigen en "OF" voor optellen, waardoor:

kans op 3 gelijke kleuren na elkaar = (kans 1e rood * (2e en 3e rood)) +
(kans 1e blauw * (2e en 3e blauw)) + (kans 1e geel * (2e en 3e geel))
= (10/27)^3 + (10/27)^3 + (7/27)^3
~= 0.1190
(deze getallen vond je ook, je moet de 3 kansen alleen optellen ipv vermenigvuldigen)

En de kans dat dit 3 keer na elkaar gebeurt = 0.1190^3 ~= 0.001686...

In je interpretatie van het probleem waar je 9 knikkers trekt, en daarna zelf de kleuren mag groeperen, heb je meer mogelijkheden, dus een grotere kans.
Heb je de opgave exact overgenomen, zo nee, hoe luidt de opgave dan precies?

Zo nodig kan ik hier morgen nader op ingaan.

[bhengeveld]

De vraag exact overgenomen:

Een vaas bevat 10 rode, 7 gele en 10 blauwe knikkers. Uit de vaas worden aselect 9 knikkers getrokken (met terugleggen) Wat is de kans op drie drietallen knikkers van dezelfde kleur?

Het gaat (volgens mij) over het uiteindelijke resultaat van 9 keer 1 bal trekken met terugleggen, de volgorde is niet van belang. (er hoeven niet per se drie gelijke kleuren na elkaar getrokken te worden) Bijv: rgrbrbgbg = (na 'rangschikking') een drietal rood, een drietal blauw én een drietal blauw (dit heb ik genoteerd als 'rgb', iedere letter vertegenwoordigt een drietal ballen)

deze getallen vond je ook, je moet de 3 kansen alleen optellen ipv vermenigvuldigen

Het ging me in dit geval (berekening tussen 'code' tags) om de kans op precies eerst drie rode ballen, 'en' dan drie blauwe 'en' tenslotte drie gele. Dan klopt deze toch?

Bedankt voor je moeite in ieder geval!

[arie]

Je oorspronkelijke vraagstuk is op 2 manieren te interpreteren (het vraagstuk had dus duidelijker beschreven moeten worden):
[1] je trekt 9 keer met terugleggen, dit zijn 3 drietallen die achtereenvolgens getrokken worden (dus: volgorde belangrijk)
[2] je trekt 9 keer met terugleggen, noteer de uitkomsten, herschik deze uitkomsten en kijk hoe groot de kans is dat je met die uitkomsten 3 drietallen van dezelfde kleur kan vormen (dus: volgorde NIET belangrijk).
We bekijken beide mogelijkheden:

[1] Je trekt 9 knikkers ofwel 3 drietallen knikkers (volgorde belangrijk):
Noem in kleine letters de kans op trekken van een kleur:
r = 10/27
b = 10/27
g = 7/27
en in hoofdletters de kans op het trekken van een drietal knikkers van dezelfde kleur:
R = r*r*r = (10/27)^3
B = b*b*b = (10/27)^3
G = g*g*g = (7/27)^3
Zoals we hierboven al gezien hebben is de kans dat het eerste drietal een drietal is met dezelfde kleur gelijk aan
(R+B+G) ~= 0.1190
en de kans dat we 3 drietallen hebben met dezelfde kleur
(R+B+G)^3 ~= 0.001686
Dit is de kans dat je 3 keer [een drietal knikkers met dezelfde kleur] trekt.

In je codeblok in je eerdere post heb je aangegeven de kans dat de eerste 3 rood zijn, vervolgens de tweede 3 blauw, en vervolgens de laatste 3 geel.
Dit is R*B*G ~= 0.00004498.
Dit is correct.
Je kan zo alle mogelijke combinaties van 3 drietallen beschrijven en tenslotte hun kansen optellen: met 3 kleuren heb je 3!=6 mogelijkheden:
RBG
RGB
BRG
BGR
GRB
GBR
dit levert een bijdrage van 6*RBG = 6 * 0.00004498 = 0.00026988
Dan 2 keer R en 1 keer B: 3 mogelijkheden:
RRB
RBR
BRR
Dan 2 keer R en 1 keer G: 3 mogelijkheden:
RRG
RGR
GRR
etc.
Maar deze weg is voor dit probleem te omslachtig: de som van de kansen van al deze mogelijkheden is precies (R+B+G)^3.
Werk dit product uit en je vindt:
(R+B+G)^3 = (R+(B+G))^3
= R^3 + 3R^2(B+G) + 3R(B+G)^2 + (B+G)^3
= R^3 + 3R^2B + 3R^2G + 3RB^2 + 6RBG + 3RG^2 + B^3 + 3B^2G + 3BG^2 + G^3
= RRR + 3RRB + 3RRG + 3RBB + 6RBG + 3RGG + BBB + 3BBG + 3BGG + GGG
(kan je beredeneren waarom dit klopt?)


[2] Je trekt 9 knikkers en herschikt in drietallen (volgorde NIET belangrijk):
Dan is je werkwijze correct, inclusief 9g zijn er 10 mogelijke samenstellingen met hun kansen:
9r: (10/27)^9
6r,3b: 84 * (10/27)^9
6r,3g: 84 * (10/27)^6 * (7/27)^3
3r,6b: 84 * (10/27)^9
3r,3b,3g: 1680 * (10/27)^6 * (7/27)^3
3r,6g: 84 * (10/27)^3 * (7/27)^6
9b: (10/27)^9
6b,3g: 84 * (10/27)^6 * (7/27)^3
3b,6g: 84 * (10/27)^3 * (7/27)^6
9g: (7/27)^9
Opgeteld levert dit 0.10801375

[bhengeveld]

Maar deze weg is voor dit probleem te omslachtig: de som van de kansen van al deze mogelijkheden is precies (R+B+G)^3.
Werk dit product uit en je vindt:
(R+B+G)^3 = (R+(B+G))^3
= R^3 + 3R^2(B+G) + 3R(B+G)^2 + (B+G)^3
= R^3 + 3R^2B + 3R^2G + 3RB^2 + 6RBG + 3RG^2 + B^3 + 3B^2G + 3BG^2 + G^3
= RRR + 3RRB + 3RRG + 3RBB + 6RBG + 3RGG + BBB + 3BBG + 3BGG + GGG
(kan je beredeneren waarom dit klopt?)

Ik weet niet helemaal of ik je in de goede richting begrijp qua 'beredeneren', but here goes:

de kans dat je óf een drietal R, G óf B pakt is de afzonderlijke kansen daarop opgeteld, de kans dat dat drie keer achter elkaar gebeurt is de kans op R, G óf B ^3
en: (R+B+G)^3 is een vorm van f(x)=(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, waarbij geldt a= R en b=(B+G)

(3^3 is het aantal permutaties van 3 uit 3: je kunt, lettend op de volgorde en met terugleggen, drie kleuren op 3^3 manieren rangschikken. Dit is precies de som van de 'factoren'(?) voor de verschillende kleurencombi's in de functie)

[arie]

Klopt.
Je ziet zo wat de formules die we gebruikt hebben in feite doen.