Dobbelsteen gooien

Continue & discrete verdelingen, toevalsveranderlijken, betrouwbaarheidsintervallen, correlaties.
Plaats reactie
iljar Dickhof
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 5
Lid geworden op: 23 dec 2019, 17:14

Dobbelsteen gooien

Bericht door iljar Dickhof » 23 dec 2019, 17:20

Hallo allemaal,

Stel: Je hebt een dobbelsteen die je 3 maal gooit.
- De kans dat je drie of lager krijgt is 1 op 2.
- De kans dat je vier of hoger krijgt is ook 1 op 2.

Je hebt 2 maal gegooid en tweemaal is het 3 of lager dan 3.

Dan is mijn vraag als volgt:
Kan je nu voor de derde gooi zeggen dat de kans hoger is dat je 4 of hoger krijgt? Wat is die kans dan?
Of is het juist dat dat de kans nog steeds 1 op 2 blijft.

Ik hoor graag van jullie,
groeten Iljar

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3461
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Dobbelsteen gooien

Bericht door arie » 23 dec 2019, 21:04

Elke worp met een dobbelsteen is onafhankelijk van eerdere worpen met die dobbelsteen.
Je kan ook zeggen: de dobbelsteen heeft geen geheugen voor wat er in het verleden gebeurd is: de uitgangssituatie is steeds hetzelfde en de kansen op alle uitkomsten zijn niet veranderd.
De kans op 4 of hoger blijft dus 1/2, elke worp weer.
Ook al heb je al 20 keer 3 of lager gegooid.

(Dat wil zeggen: voor een eerlijke dobbelsteen, waarin de kans voor elk van de uitkomsten 1 t/m 6 ogen gelijk is aan 1/6. Als de dobbelsteen verzwaard is, bijvoorbeeld aan de zijde van de 6 ogen, dan zijn de kansen van alle zijdes niet meer gelijk aan 1/6)

Dit is anders dan bijvoorbeeld bij een trekking zonder terugleggen van knikkers uit een vaas:
Als er 5 witte en 5 zwarte knikkers in een vaas zitten, en je trekt 2 keer een witte knikker,
dan zitten er daarna nog 3 witte en 5 zwarte knikkers in de vaas.
De kans dat je de derde keer een zwarte trekt is dan 5/8 = 0.625, de kans op een witte in de derde trekking is dan 3/8 = 0.375.
De uitkomst van de derde trekking is nu wel afhankelijk van wat er in de eerste 2 trekkingen gebeurd is.

iljar Dickhof
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 5
Lid geworden op: 23 dec 2019, 17:14

Re: Dobbelsteen gooien

Bericht door iljar Dickhof » 24 dec 2019, 18:40

Dus als je 1000 maal gooit dan is de kans dus even hoog dat je 1000 maal 1 gooit dan dat je alle getallen 1000/6 =~ 167 maal gooit.

In mijn intuïtie geeft steeds meerdere gooien een steeds idealer beeld van de laatstgenoemde ideale situatie. Dus dat elk getal 1/6 keer wordt gegooid binnen het aantal gooien. Maar dat klopt dus eigenlijk niet.

Het is dus onmogelijk te voorspellen/redeneren hoe vaak een getal naar boven zou kunnen komen ondanks het steeds hoger worden van het aantal gooien.

Klopt dit?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3461
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Dobbelsteen gooien

Bericht door arie » 25 dec 2019, 00:22

iljar Dickhof schreef: Dus als je 1000 maal gooit dan is de kans dus even hoog dat je 1000 maal 1 gooit dan dat je alle getallen 1000/6 =~ 167 maal gooit.
Dit klopt niet.
Er is maar 1 manier om 1000 keer 1 te gooien, en dat is:
de 1e worp 1 EN de 2e worp 1 EN de 3e worp 1 EN .... EN de 1000e worp 1.
Die kans is \(\left( \frac{1}{6}\right) ^{1000} \approx 7.05910 \cdot 10^{-779}\),
dat wil zeggen: nul komma 778 nullen en dan pas 705910....
Dit is een heel erg kleine kans, maar mocht dit lukken, dan is in worp 1001
de kans op 1 = de kans op 2 = de kans op 3 = de kans op 4 = de kans op 5 = de kans op 6 = 1 / 6

Aan de andere kant is de kans dat je in 1000 worpen precies 167 keer 1 gooit gelijk aan
\({1000 \choose 167} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^{167} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{1000-167} \approx 0.03379338803228\)
Deze kans volgt een binomiale verdeling (zie https://nl.wikipedia.org/wiki/Binomiale_verdeling).
Hier nog een aantal kansen bij 1000 keer gooien:
P(120 enen) = 0.000007667
P(130 enen) = 0.000214864
P(140 enen) = 0.002492830
P(150 enen) = 0.012629463
P(160 enen) = 0.029257222
P(170 enen) = 0.032258648
P(180 enen) = 0.017534815
P(190 enen) = 0.004847250
P(200 enen) = 0.000700526
P(210 enen) = 0.000054251
P(220 enen) = 0.000002302
De grootste kans heeft de verwachte waarde = 1000/6 = 166.66 enen.
Hoe verder je van de verwachte waarde af komt, hoe kleiner de kans.

iljar Dickhof schreef: In mijn intuïtie geeft steeds meerdere gooien een steeds idealer beeld van de laatstgenoemde ideale situatie. Dus dat elk getal 1/6 keer wordt gegooid binnen het aantal gooien. Maar dat klopt dus eigenlijk niet.
Dit klopt wel, en is de Wet van de Grote Aantallen,
zie bijvoorbeeld https://nl.wikipedia.org/wiki/Wetten_va ... _aantallen.
Hoe vaker je gooit, hoe dichter je uitkomst bij de verwachte waarde zal komen te liggen.
Je kan uitrekenen dat als je 1000 keer gooit, je een kans van ruim 80% hebt om tussen de 150 en 180 keer 1 te gooien.

iljar Dickhof schreef: Het is dus onmogelijk te voorspellen/redeneren hoe vaak een getal naar boven zou kunnen komen ondanks het steeds hoger worden van het aantal gooien.
Je kan WEL berekenen hoe vaak een aantal ogen naar boven komt bij N worpen van een dobbelsteen.
Hoe vaker je gooit (hoe groter het aantal worpen N), hoe dichter je (relatief) bij de verwachte waarde N/6 zal komen.
Je kan WEL bepalen dat de kans op 1 oog in worp N+1 gelijk is aan 1/6, en deze kans blijft hetzelfde voor elke worp.
Het is NIET zo dat als je heel vaak achter elkaar 1 gegooid hebt, de kans op nog een 1 afneemt, deze kans blijft 1/6, net als de verwachting voor elk ander aantal ogen.

iljar Dickhof
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 5
Lid geworden op: 23 dec 2019, 17:14

Re: Dobbelsteen gooien

Bericht door iljar Dickhof » 25 dec 2019, 03:07

Dag arie,

Bedankt voor reactie.
Het is NIET zo dat als je heel vaak achter elkaar 1 gegooid hebt, de kans op nog een 1 afneemt, deze kans blijft 1/6, net als de verwachting voor elk ander aantal ogen.
Ik vind dit wel gek klinken dan. Als je bij geluk bijvoorbeeld 999 maal 1 gooit en nog een gooi over hebt, dan is de kans dus nog steeds 1/6 dat je weer een 1 gooit, terwijl de wet van grote aantallen zegt dat je juist meer naar het idealer beeld wil werken. Dus dan zou de volgende gooi een "iets" lagere kans moeten hebben om nog een 1 te gooien. Bijvoorbeeld 0,999...999/6 maar dat klopt dus ook niet?

Of stel je hebt de cijfers 2 t/m 6 stuk voor stuk 167 maal gegooid en de nummer 1, 166 maal. Dan nog steeds is de kans 1/6 dat ik bij mijn volgende gooi nog een 1 gooit? In dit geval zou de kans dan juist hoger moeten worden, omdat de God van de statistiek juist een ideaal beeld weer creëren?

Ik weet eigenlijk ook niet precies waar mijn denkfout ligt?

Ik snap dat je probeert te zeggen dat de wet van grote aantallen niet gecombineerd mag worden met afzonderlijke worpen, maar waarom is dat?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3461
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Dobbelsteen gooien

Bericht door arie » 25 dec 2019, 12:36

Het verschil zit in de individuele uitkomst tegenover de verwachte uitkomst:

Stel je gooit met een muntstuk, dan zijn er 2 mogelijke uitkomsten:
K = kop
M = munt,
elk met kans 1/2 (= 50%)

Gooi je 2 keer na elkaar, dan zijn er 4 mogelijke uitkomsten:
KK: 2 keer kop
KM: 1e keer kop, 2e keer munt
MK: 1e keer munt, 2e keer kop
MM: 2 keer munt
Elk van deze 4 uitkomsten heeft dezelfde kans om te gebeuren: 1/4 ofwel 25%.

Nu is de kans op 2 keer kop 1/4 (alleen bij uitkomst KK),
de kans op 1 keer kop 2/4 = 1/2 (bij 2 van de 4 uitkomsten, namelijk KM en MK),
de kans op 0 keer kop 1/4 (alleen bij uikomst MM),

Als we 2 keer gaan gooien, dan verwachten we in de helft van de gevallen K, en we zien ook dat de kans op 1 K groter is dan de kans op 0 K of 2 K.

Maar het is niet zo dat als we een individuele uitkomst gekregen hebben, bijvoorbeeld KK, dat dan de kans op M groter wordt.
Er zijn dan 2 mogelijkheden: KK wordt KKK of KK wordt KKM, en elk van deze 2 mogelijkheden heeft een kans van 1/2.
Maar hoe vaker we gooien, hoe groter de kans dat we dichter bij het verwachte aantal K's komen (namelijk de helft van de worpen).

Met 4 worpen zijn er 2x2x2x2=16 mogelijkheden, waarvan:
1 met 4 keer K: KKKK
4 met 3 keer K: MKKK, KMKK, KKMK, KKKM
6 met 2 keer K: MMKK, MKMK, MKKM, KMMK, KMKM, KKMM
4 met 1 keer K: MMMK, MMKM, MKMM, KMMM
1 met 0 keer K: MMMM
Elk rijtje heeft een zelfde kans als uitkomst, namelijk 1/16.
Voor de verwachte uitkomst (= 2 van de 4 worpen zijn K) zijn er 6 mogelijke rijtjes, de kans daarop is dus 6/16 = 3/8, en dit is de meest waarschijnlijke uitkomst (P(4K)=1/16, P(3K)=4/16, P(2K)=6/16, P(1K)=4/16, P(0K)=1/16).
En opnieuw: mochten we inmiddels 4 keer op rij K gegooid hebben (en dat gebeurt gemiddeld in 1 van de 16 worpseries) dan is bij een vijfde worp de kans op K (geeft KKKKK) = kans op M (geeft KKKKM) = 1/2

Je begint hier ook al te zien dat uitkomsten dicht bij de verwachte waarde (1 keer K of 3 keer K) veel vaker zullen optreden dan uitkomsten verder weg van de verwachte waarde (0 keer K of 4 keer K).
Dat zagen we hierboven ook al bij de dobbelsteen:
als je 1000 keer gooit heb je een kans van ruim 80% om tussen de 150 en 180 keer 1 te gooien.
De kans op uitkomsten verder weg van de verwachte 167 keer 1 worden steeds kleiner, tot de uiterst zeldzame 1000 keer 1 achter elkaar.

Plaats reactie