Kansrekenen - vraagstuk

Continue & discrete verdelingen, toevalsveranderlijken, betrouwbaarheidsintervallen, correlaties.
Plaats reactie
MCK
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 18 aug 2020, 20:14

Kansrekenen - vraagstuk

Bericht door MCK » 18 aug 2020, 20:33

Hallo,

Ik ben al even aan het zoeken naar het antwoord van het volgende vraagstuk, maar ik heb hulp nodig:

Een handelaar verkoopt pakjes met 10 pennen. In elk pakje steekt hij 3 pennen die niet werken. Een controleur pikt 4 pennen uit 1 pakje om na te kijken of deze werken.

Indien de controleur 2 pakjes nakijkt, wat is de kans dat hij minstens 4 pennen pikt die niet werken.

Als hij 40 pakjes controleert:
wat is de kans dat er minstens 60 pennen niet werken
wat is de kans dat hij 25 'foute' pakjes ontdekt

Wat is de kans dat de controleur de fout ontdekt bij het nakijken van het vijfde pakje?

Alvast bedankt!!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3512
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Kansrekenen - vraagstuk

Bericht door arie » 19 aug 2020, 11:33

MCK schreef: Een handelaar verkoopt pakjes met 10 pennen. In elk pakje steekt hij 3 pennen die niet werken. Een controleur pikt 4 pennen uit 1 pakje om na te kijken of deze werken.
Er zijn \({10 \choose 4} = 210\) mogelijkheden om 4 pennen uit 10 pennen te kiezen.
Er zijn \({7 \choose 4} = 35\) mogelijkheden om 4 pennen uit 7 goede pennen te kiezen.
De kans op nul foute pennen (= alle pennen goed) is dus \(\frac{35}{210} = \frac{1}{6}\)
Bereken nu eerst de kansen op:
- 1 foute pen
- 2 foute pennen
- 3 foute pennen.

MCK schreef: Indien de controleur 2 pakjes nakijkt, wat is de kans dat hij minstens 4 pennen pikt die niet werken.
De kansen per pakje heb je hierboven bepaald.
Nu zijn er 2 pakjes: A en B.
De kans op minstens 4 foute pennen is dan gelijk aan de kans op:
1 foute pen bij A EN 3 foute pennen bij B
OF
2 foute pennen bij A EN (2 of 3) foute pennen bij B
OF
3 foute pennen bij A EN (1, 2 of 3) foute pennen bij B
Kan je deze kans bepalen?

MCK schreef: Als hij 40 pakjes controleert:
wat is de kans dat er minstens 60 pennen niet werken
Moet dit de exacte oplossing zijn, of heb je geleerd hoe je zo'n kans kan benaderen?
In het laatste geval: via welke formules?

MCK schreef: Als hij 40 pakjes controleert:
wat is de kans dat hij 25 'foute' pakjes ontdekt
De kans op een alles-goed-melding per pakje = 1/6 (zie hierboven)
De kans op een foutmelding is per pakje dus 1 - 1/6 = 5/6
Nu herhalen we dit n=40 keer.
Met wat voor verdeling werken we hier?
Wat is de bijbehorende formule voor een dergelijke kans?

MCK schreef: Als hij 40 pakjes controleert:
Wat is de kans dat de controleur de fout ontdekt bij het nakijken van het vijfde pakje?
P(ontdekking bij 5e pakje) = P(1e goed EN 2e goed EN 3e goed EN 4e goed EN 5e fout) = ...

MCK
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 18 aug 2020, 20:14

Re: Kansrekenen - vraagstuk

Bericht door MCK » 19 aug 2020, 23:13

Bedankt voor de snelle reactie! De info en aanwijzingen waren zeer nuttig!

Ik had inderdaad al de kans berekend voor 0, 1, 2 en 3 foute pennen:

0: 1/6
1: 1/2
2: 3/10
3: 1/30

Nu
Voor het bepalen van de kans op 4 gepikte foute pennen uit 2 pakjes:

1/2*1/30+3/10*3/10+3/10*1/30+1/30*1/2+1/30*3/10+1/30*1/30=0,1444

Voor het bepalen van de kans op minstens 60 gepikte foute pennen uit 40 pakjes:

Bij benadering (normale verdeling benaderen en rekening houden met continuïteitscorrectie)
Voor 1 pakje:
E(X): 0*1/6+1*1/2+2*3/10+3*1/30=1,2
stdDev(X): sqrt(-1,2²*1/6-0,2²*1/2+0,8²*3/10+1,8²*1/30)=0,2
Voor 40 pakjes:
E(X): 40*1,2=48
stdDev(X): sqrt(40)*0,2=1,2649…
normalcdf(59.5,10^99,48,1.2649…)=4,9559*10^-20

Voor kans 25 foute pakjes op 40:
Binomiale verdeling
N=40
π=5/6
1-π=1/6
Binompdf(40,5/6,25)=8,9681*10^-4
Of 40 nCr 25 * (5/6)^25 * (1/6)^15 = 8,9681*10^-4

Voor kans ontdekking fout bij controle 5de pakje:
(1/6)^4*(5/6)=6,4300*10^-4

Ik ben niet zeker dat mijn uitwerking correct is, maar bedankt!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3512
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Kansrekenen - vraagstuk

Bericht door arie » 20 aug 2020, 06:58

MCK schreef: Voor het bepalen van de kans op minstens 60 gepikte foute pennen uit 40 pakjes:
Bij benadering (normale verdeling benaderen en rekening houden met continuïteitscorrectie)
Voor 1 pakje:
E(X): 0*1/6+1*1/2+2*3/10+3*1/30=1,2
stdDev(X): sqrt(-1,2²*1/6-0,2²*1/2+0,8²*3/10+1,8²*1/30)=0,2
Hier hadden haakjes moeten staan:
stdDev(X): sqrt((-1,2)²*1/6+(-0,2)²*1/2+0,8²*3/10+1,8²*1/30)=sqrt(0,56)=0.748331
Je verdere uitwerking klopt, maar met deze standaarddeviatie krijg ik als einduitkomst 0.0076 (in plaats van 4,9559*10^-20).

Al je andere antwoorden zijn OK.

MCK
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 18 aug 2020, 20:14

Re: Kansrekenen - vraagstuk

Bericht door MCK » 20 aug 2020, 08:03

Bedankt weer voor de snelle reactie en het nakijken van hetgeen ik gedaan heb!

Ik had inderdaad haken moeten zetten. Dan krijg ik dezelfde uitkomst.

Bedankt!

Plaats reactie