Wiskundeforum

Beste allemaal,

Ik ben op zoek naar de kansmassafunctie van een som van $n$ onafhankelijke stochastische variabelen die uniform continu verdeeld zijn op $[a,b]$ .

Het leek me een goed begin om eerst te kijken naar de kansmassafunctie van $Z = X + Y$ met $X, Y \sim \text{Unif}[a,b]$ onafhankelijk.

Het is bekend dat
$f_X(x) = \frac{1}{b-a}$ voor $a \leq x \leq b$ en 0 elders.
$f_Y(y) = \frac{1}{b-a}$ voor $a \leq y \leq b$ en 0 elders.

Nu geldt voor $Z$
$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(z-y)f_Y(y) dy = \frac{1}{b-a} \int_a^b f_X(z-y) dy$ ,
want $f_Y(y)$ is 0 buiten het interval $[a,b]$ .

Het gedeelte onder de integraal is niet-nul als $a \leq z - y \leq b$ , dus $z - b \leq y \leq z - a$ . Vanaf hier zou ik gewoon de grenzen van de integraal door $z-b$ en $z-a$ vervangen en de functie vervangen door $\frac{1}{b-a}$ , maar dit is niet de bedoeling.

Ik heb al een equivalent voorbeeld(*) gezien waarbij $X$ en $Y$ Uniform verdeeld zijn op [0,1], maar het lukt me niet om dit te doen voor een algemeen interval $[a,b]$ .

$Z = X + Y$ , dus de kansmassafunctie $f_Z(z)$ is alleen niet-nul als $2a \leq z \leq 2b$ . Ik moet waarschijnlijk de integraal bekijken voor $2a \leq z \leq a + b$ en $a + b \leq z \leq 2b$ , maar ik heb geen idee tussen welke grenzen $y$ dan moet liggen.

Kortom: hoe werk ik $\frac{1}{b-a} \int_a^b f_X(z-y) dy$ verder uit?

Alvast bedankt voor eventuele hulp!

(*): Pagina 8

Het gaat om een Irwin-Hall verdeling.

http://en.wikipedia.org/wiki/Irwin%E2%8 ... stribution

Die is voor de som van uniforme variabelen op [0,1]. Ik zou het graag op [a,b] willen weten.

Als X uniform verdeelt is op [a,b],
wat kun je dan zeggen van
$\frac{X-a}{b-a}$ ?

Dit kun je ook omgekeren.

op=op schreef:Als X uniform verdeelt is op [a,b],
wat kun je dan zeggen van
$\frac{X-a}{b-a}$ ?

Dit kun je ook omgekeren.

$\mathbb{P}(X \leq x) = \frac{x-a}{b-a}$ als $x \in [a,b]$
$\mathbb{P}\left({\frac{X-a}{b-a} \leq x\right) = \mathbb{P}(X \leq x(b-a) + a) = x$ als $x(b-a) + a \in [a,b]$ , dus als $x \in [0,1]$ .

Dus als ik nu de kansmassafunctie van de Irwin-Hall distribution erbij pak en ik vervang $x$ door $x(b-a) + a$ , dan heb ik de kansmassafunctie voor de som van uniform[a,b] verdeelde stochastische variabelen?

bingo

Wiskundeforum

Som van uniforme stochastische variabelen

Som van uniforme stochastische variabelen

Re: Som van uniforme stochastische variabelen

Re: Som van uniforme stochastische variabelen

Re: Som van uniforme stochastische variabelen

Re: Som van uniforme stochastische variabelen

Re: Som van uniforme stochastische variabelen