Gemiddelde vs Mediaan

Continue & discrete verdelingen, toevalsveranderlijken, betrouwbaarheidsintervallen, correlaties.
Plaats reactie
StijnM
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 27 sep 2015, 13:46

Gemiddelde vs Mediaan

Bericht door StijnM » 27 sep 2015, 13:52

Beste,

Voor velen van jullie is dit waarschijnlijk een makkelijke vraag, maar ik had ze graag even verder uitgelegd gekregen.

Als gesteld wordt "Het gemiddelde varieert minder van steekproef tot steekproef t.o.v. de mediaan" dan stel ik mij de vraag hoe ik dit dien te interpreteren als geweten is dat de mediaan niet gevoelig is voor extremen en het gemiddelde wel.
Met andere woorden: ik zou de stelling net andersom inschatten.
Ik heb meerdere berekeningen gemaakt, maar kan de stelling niet duiden.

Kan iemand mij adhv een voorbeeld de stelling uitleggen?

Alvast bedankt.

Stijn

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3570
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Gemiddelde vs Mediaan

Bericht door arie » 28 sep 2015, 15:25

StijnM schreef:... de mediaan is niet gevoelig voor extremen en het gemiddelde wel ...
Dit geldt als je kijkt naar 1 steekproef.
Als je binnen een steekproef een extreme waarde (= outlier) hebt, dan telt die extreme waarde wel mee in de berekening van het gemiddelde. De extreme waarde zal het gemiddelde van de steekproef naar zich toe trekken.
De mediaan verandert niet als je in plaats van die heel extreme waarde elke andere gangbare waarde (groter dan de mediaan) zou trekken. De mediaan blijft de middelste waarneming.

StijnM schreef:"Het gemiddelde varieert minder van steekproef tot steekproef t.o.v. de mediaan"
Nu kijk je naar
- de variatie van het gemiddelde, en
- de variatie van de mediaan
van een aantal steekproeven.

Het gemiddelde van elke steekproef verwacht je dichter bij het populatiegemiddelde dan de mediaan van elke steekproef.
Bij de bepaling van het steekproefgemiddelde tellen immers ALLE gemeten waarden mee, en bij de bepaling van de mediaan slechts 1 waarde (weliswaar de middelste, maar die zal toch meer fluctueren dan het gemiddelde van 3 waarden).

Een (wat extreem) voorbeeld:
Worp met een munt, de uitkomst (kop/munt) krijgt de waarde 0 (=nul) of 1.
Als gemiddelde over alle worpen verwacht je 0.5.
Nu doen we een steekproef bestaande uit 3 worpen.
Dan zijn er 8 mogelijke uitkomsten (alle 8 even waarschijnlijk):

Code: Selecteer alles

worp     mediaan  gemiddelde
(0,0,0)     0        0
(0,0,1)     0        1/3
(0,1,0)     0        1/3
(0,1,1)     1        2/3
(1,0,0)     0        1/3
(1,0,1)     1        2/3
(1,1,0)     1        2/3
(1,1,1)     1        1
Als je de variatie / variantie / standaard deviatie bepaalt van de 8 mediaan-waarden, zal je een grotere waarde krijgen dan die van de gemiddelden.
Immers: de steekproefmediaan ligt in dit voorbeeld altijd maximaal ver van het verwachte gemiddelde (= 0.5) af, terwijl in 6 van de 8 uitkomsten het steekproefgemiddelde dichter bij het verwachte gemiddelde ligt.

Merk op: het gemiddelde van beide groepen = het verwachte gemiddelde = 0.5, de variatie van de steekproefmedianen is alleen groter.

Plaats reactie