Wiskundeforum

Een man verzameld stickers en heeft er nog 10 nodig om ze allemaal te bezitten. Sommige stickers zijn echter zeldzamer dan andere.
2 stickers hebben een kans van 1/50 om getrokken te worden
7 stickers hebben een kans van 1/60
één sticker heeft een kans van 1/100

Hoeveel stickers zal de man gemiddeld moeten trekken om zijn verzameling te vervolledigen?

Geen idee hoe ik zo'n probleem moet oplossen, kan iemand helpen?

Wat is de achtergrond van deze vraag (puzzel? geocache opdracht? studieboek? zelfstudie?)
en welke informatie heb je zelf al gevonden?

Ben je bijvoorbeeld bekend met deze formule:

Ik kwam zelf met een gelijkaardig probleem dat ik wou berekenen, maar dit lukte niet met de kansrekening die ik nog kende van het middelbaar. Ik ben niet bekend met de formule, hoe noemt deze formule of dit soort vraagstukken? Dan kan gericht zoeken op het internet en ze leren oplossen.

Het is een bekend onderwerp dat je hier aansnijdt, maar de oplossing ervan is niet al te eenvoudig.

Je kan het terugvinden onder de naam Coupon Collector Problem.


Een mooie beschrijving vind je (in het Engels) in paragraaf 4 van dit artikel:
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/do ... 1&type=pdf
Onderstaande formule is formule (13b) op pagina 10.



In jouw voorbeeld heb je m = 10 stickers nodig.
p_i zijn de kansen op elk van die stickers i = 1 t/m 10:
1/50, 1/50, 1/60, 1/60, 1/60, 1/60, 1/60, 1/60, 1/60 en 1/100

De grote PI (product) geeft aan dat je al de volgende factoren met elkaar moet vermenigvuldigen,
voor alle i = 1 t/m 10 elk 1 factor.
(deze notatie is vergelijkbaar met het SIGMA (som) teken voor optelling)

In jouw voorbeeld staat er dus



De uitwerking van deze integraal is op zich niet ingewikkeld, maar vereist zorgvuldig werk.
Het is handig om dit over te laten aan de computer.

Voorbeeld: voer deze regel:

integral(0 to infinity) (1-(1-exp(-(1/50)*x))^2 * (1-exp(-(1/60)*x))^7 * (1-exp(-(1/100)*x)))dx

in in WolframAlpha ( http://www.wolframalpha.com/ ) en deze geeft het antwoord (ongeveer
187.89 stickers).



Hier een artikel dat wellicht wat eenvoudiger te lezen is (alleen ook in het Engels):
http://mat.uab.cat/matmat/PDFv2014/v2014n02.pdf.
Op pagina 7 vind je bovenstaande formule terug, en ook een formule die de oplossing
geeft via een groot aantal sommaties (iets wat je in bovenstaande formule in feite ook doet).
Die sommatie leveren uiteraard hetzelfde antwoord:





Ik hoop dat dit je wat op weg helpt.

Zeer duidelijk antwoord! Hartelijk bedankt, dit was precies wat ik nodig had!

Inderdaad een heel mooi probleem. Een interessante uitbreiding is ook het probleem dat ik hier ooit postte...

viewtopic.php?f=28&t=5913