hoeveel mogelijkheden

Continue & discrete verdelingen, toevalsveranderlijken, betrouwbaarheidsintervallen, correlaties.
Plaats reactie
amaya
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 05 feb 2016, 20:18

hoeveel mogelijkheden

Bericht door amaya » 05 feb 2016, 20:24

Stel ik gooi 3 dobbelstenen, dan zijn er een aantal mogelijkheden om in totaal 11 te gooien. 2+3+6 bijvoorbeeld.

Kan ik makkelijk berekenen hoeveel manieren? 6+2+3 reken ik dan ook als een andere combinatie dan 2+3+6.

Hopelijk is de vraag duidelijk genoeg :)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: hoeveel mogelijkheden

Bericht door SafeX » 05 feb 2016, 21:16

Het is maar wat je makkelijk noemt of zo ervaart ...
Ga systematisch te werk!
Bv hoeveel mogelijkheden heb je voor het gooien van 18?
Hoeveel voor 17 ...
... voor 16 ...
Zie je regelmaat? Zo ja, check voor 15 ...

Als je dit niet eenvoudig genoeg vindt, geef dat aan ...

amaya
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 05 feb 2016, 20:18

Re: hoeveel mogelijkheden

Bericht door amaya » 05 feb 2016, 21:49

18 is maar 1 manier, 666.
17 zijn er drie, 566, 665 en 656.
16 zijn 556, 565, 655, 466, 646 en 664 volgens mij, dus 6.
Maar ik kan daar niet echt uit halen hoe er een patroon in zit... zeker omdat er bij 3 weer slechts 1 manier is.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: hoeveel mogelijkheden

Bericht door SafeX » 05 feb 2016, 23:02

amaya schreef:Maar ik kan daar niet echt uit halen hoe er een patroon in zit... zeker omdat er bij 3 weer slechts 1 manier is.
Ok, dit lukt in zekere mate ...
Maar je zou proberen het aantal mogelijkheden van 15 te voorspellen ...

Natuurlijk geldt bij 3 weer 1 mogelijkheid
En bij 4 weer 3 mogelijkheden ...

Wanneer krijg je de meeste mogelijkheden en waarom?

amaya
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 05 feb 2016, 20:18

Re: hoeveel mogelijkheden

Bericht door amaya » 05 feb 2016, 23:13

Aangezien ik weet dat 3 en 18 hetzelfde zijn, net als 4 en 17, en ook 5 en 16, zou ik dat doorrekenen tot het midden van het bereik dat ik heb met 3 dobbelstenen, dus 10 en 11.

Ik zou zeggen dat het een parabolische curve zou vormen, maar ik heb geen idee of dat echt zo is. En ookal is het zo, dan zijn mijn wiskundelessen te lang geleden om me te herinneren hoe ik de formule van die parabool uit de twee uitersten moet halen.
Laatst gewijzigd door amaya op 05 feb 2016, 23:54, 1 keer totaal gewijzigd.

amaya
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 05 feb 2016, 20:18

Re: hoeveel mogelijkheden

Bericht door amaya » 05 feb 2016, 23:51

Een normaalverdeling/klokcurve moet dat zijn, niet een parabool :P
Haalde ze even door de war, erg lang geleden alweer xD

Klokcurves heb ik al helemaal nooit gehad, dus geen idee hoe ik daar mee moet rekenen.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: hoeveel mogelijkheden

Bericht door arie » 06 feb 2016, 09:44

Dit wordt erg ingewikkeld.
Een alternatieve methode:
Splits het probleem op in eenvoudiger problemen:
Met de eerste dobbelsteen kan je 1, 2, 3, 4, 5 of 6 gooien.
Stel met de eerste dobbelsteen gooi je 1, op hoeveel manieren kan je met de overige 2 stenen 10 gooien?
Stel met de eerste dobbelsteen gooi je 2, op hoeveel manieren kan je met de overige 2 stenen 9 gooien?
etc.
(maak zo nodig een tabel voor 2 dobbelstenen: horizontaal 1 t/m 6, verticaal 1 t/m 6, in de tabel de som van horizontale en verticale waarde)

amaya
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 05 feb 2016, 20:18

Re: hoeveel mogelijkheden

Bericht door amaya » 06 feb 2016, 11:15

Dat heb ik inderdaad een tijd gedaan Arie, en bij 3 dobbelstenen van 6 is dat nog te doen. Maar stel ik gooi 7 dobbelstenen met ieder 10 zijden, dan zijn er volgens een gegenereerde tabel (die lijkt te kloppen) 512.365 mogelijkheden om 39 te gooien. Zo'n tabel is best makkelijk te maken voor lagere getallen, maar zou ik een dobbelsteen hebben met 100 zijden, dan is dat al niet meer te doen.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: hoeveel mogelijkheden

Bericht door arie » 06 feb 2016, 14:32

Met welk onderdeel van de wiskunde ben je bezig?

Formele machtreeksen?, dwz: komt in jouw voorbeeld deze uitdrukking voor:



en kijk eens naar de coefficient voor x^39 in de expansie hiervan:

voer dit (via copy/paste):

((x-x^11)/(1-x))^7

in in het invoerveld van http://www.wolframalpha.com
en ga iets naar beneden op de pagina die dan verschijnt.

De coefficient voor x^39 valt hiermee ook te herleiden tot







Deze technieken zijn erg krachtig.
Voor een dobbelstenen met 100 vlakken krijgen we met relatief weinig extra rekenwerk indrukwekkende resultaten.
Bijvoorbeeld:
Neem 100 dobbelstenen met 100 vlakken (met 1 t/m 100 ogen).
Dan is het aantal manieren om daarmee 2016 te gooien =

664691504164983320393575171077338374632279962
698856326750833200123320461132050143709062305
907353473934557387617779979242924760415014266
09507733640259454767150068053398000
(aan elkaar vast geschreven)

~= 6.6469 * 10^169

amaya
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 05 feb 2016, 20:18

Re: hoeveel mogelijkheden

Bericht door amaya » 09 feb 2016, 14:41

Het is voor mij puur een hobby eigenlijk :P

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: hoeveel mogelijkheden

Bericht door arie » 09 feb 2016, 21:46

OK! Dan hangt het er van af wat je er precies mee wil doen.

Als het alleen om een aantal mogelijkheden gaat, kan je voor d dobbelstenen met elk v vlakken de formule



invoeren in een programma als Wolfram Alpha, zoals we hierboven gedaan hebben.
De coëfficiënt voor de macht x^n geeft dan aan op hoeveel manieren je met die d dobbelstenen de waarde n kan gooien.

Het idee hier achter:
Neem even de gebruikelijke 6-vlakkige dobbelsteen.
Met 1 dobbelsteen kan je 1 of 2 of 3 of 4 of 5 of 6 gooien.
Noteer het aantal ogen als macht van x, dan vertaalt dit naar
x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6.
Met 2 dobbelstenen gooi je met de eerste 1 of 2 of 3 of 4 of 5 of 6, EN met de tweede
1 of 2 of 3 of 4 of 5 of 6. Dit vertaalt naar het product
(x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6) * (x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)=

x^1 * (x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6) +
x^2 * (x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6) +
x^3 * (x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6) +
x^4 * (x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6) +
x^5 * (x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6) +
x^6 * (x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6) =

x^1*x^1 + x^1*x^2 + x^1*x^3 + x^1*x^4 + x^1*x^5 + x^1*x^6 +
x^2*x^1 + x^2*x^2 + x^2*x^3 + x^2*x^4 + x^2*x^5 + x^2*x^6 +
x^3*x^1 + x^3*x^2 + x^3*x^3 + x^3*x^4 + x^3*x^5 + x^3*x^6 +
x^4*x^1 + x^4*x^2 + x^4*x^3 + x^4*x^4 + x^4*x^5 + x^4*x^6 +
x^5*x^1 + x^5*x^2 + x^5*x^3 + x^5*x^4 + x^5*x^5 + x^5*x^6 +
x^6*x^1 + x^6*x^2 + x^6*x^3 + x^6*x^4 + x^6*x^5 + x^6*x^6 =

(merk op dat dit precies alle 36 mogelijke uitkomsten van een worp met 2 dobbelstenen zijn:
1EN1 OF 1EN2 OF 1EN3 OF ... OF 1EN6 OF
2EN1 OF 2EN2 OF 2EN3 OF ... OF 2EN6 OF
...
6EN1 OF 6EN2 OF 6EN3 OF ... OF 6EN6)

= 1*x^2 + 2*x^3 + 3*x^4 + 4*x^5 + 5*x^6 + 6*x^7 + 5*x^8 + 4*x^9 + 3*x^10 + 2*x^11 + 1*x^12

Dit laatste krijg je door vermenigvuldigen en samenvoegen van gelijke machten van x.
Doordat bij vermenigvuldiging geldt dat

tel je het aantal ogen van elke worp (m en n) in feite bij elkaar op, en dat is ook wat je wilt.
Door het samenvoegen van gelijke machten verzamel je het aantal worpen met (m+n) als uitkomst, en dat aantal is precies de coëfficiënt voor x^(m+n).

Je leest hierin bijvoorbeeld af dat je met 2 dobbelstenen op 5 manieren 8 kan gooien en op 2 manieren 11.

Voor meerdere dobbelstenen gaat dit net zo.
Bijvoorbeeld 3 dobbelstenen (zoals in je oorspronkelijke vraag hierboven):

(x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^3 =
x^18 + 3*x^17 + 6*x^16 + 10*x^15 + 15*x^14 + 21*x^13 + 25*x^12 + 27*x^11 +
27*x^10 + 25*x^9 + 21*x^8 + 15*x^7 + 10*x^6 + 6*x^5 + 3*x^4 + x^3

Er zijn dan 27 manieren om 11 te gooien.

De schrijfwijze bovenaan dit bericht is een compactere schrijfwijze voor deze veelterm.


Blijf vragen als je meer wilt weten.

amaya
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 05 feb 2016, 20:18

Re: hoeveel mogelijkheden

Bericht door amaya » 16 feb 2016, 17:53

Dank je!

Plaats reactie