Wiskundeforum

Hoe bepaal je op een efficiënte manier de grootste gemene deler van honderd gelijksoortige meetresultaten?
(Dit probleem doet zich onder andere voor bij de proef van Millikan waarbij de meest waarschijnlijke waarde van de lading van een elektron bepaald moet worden.)

Bedoel je het gemiddelde?

Nee Arie, wel de grootste gemene deler.

Toevoeging: een meetresultaat is geen reëel getal maar een interval op de getallenlijn.
Hoe smaller het interval, hoe nauwkeuriger de meting.

Ik heb mij toevallig vroeger ook dezelfde vraag gesteld.

In zo'n druppel zitten volgens mij heel wat electronen, maar geen idee hoe groot de netto lading is.
Waarschijnlijk niet al te groot, want anders lijkt het mij echt onmogelijk om daaruit de lading van een elektron te bepalen.

Enig idee idee in welke grootteorde we de lading van 1 druppel moeten schatten?

De lading van pakweg zo'n honderd elektronen teveel of te weinig.
De druppeltjes (uit een sproeier)kunnen dus negatief of positief zijn.

Het gaat mij om een algemene oplossing.

Je kan de lading van een electron beschouwen als normaalverdeeld en dan MLE toepassen.

Je hebt eigenlijk wel data nodig om daar iets zinnigs over te kunnen zeggen.

Wat betekent MLE?

https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_likelihood

Mocht je concrete resultaten hebben, wil ik wel eens proberen.

Ik ga er kijken. Dank.
Ik hoop er op terug te komen.

Ik schat in, dat uw suggestie in mijn probleem niet bruikbaar is, wnvl.

Een mogelijke methode aan de hand van een voorbeeld
Gegeven de volgende gefantaseerde meetresultaten:
61,4 45,8 27,5 16,9 11,2
De eenheden zijn hier niet relevant.
Bepaal de verschilrij:
15,6 18,3 10,6 5,7
Herhaal dit tot je nog maar één verschil hebt.
|-2,7| 7,7 5,0
5,0 2,8
2,2

Kies het kleinste verschil uit deze verzameling verschillen: 2,2
Deel alle meetresultaten door deze 2,2 en rondt af tot een geheel getal:
28 21 13 8 5
Deel nu het eerste waarnemingsgetal door het eerste afgeronde getal:
61,4 / 28 = 2,19. Herhaal dit voor de overige metingen:
45,8 / 21 = 2,18
27,5 / 13 = 2,11
16,9 / 8 = 2,11
11,2 / 5 = 2,24
Het gemiddelde van deze quotiënten - namelijk 2,17 – zou de grootste gemeenschappelijke deler zijn van de gefantaseerde meetresultaten.

Kan iemand weerleggen of bevestigen, dat deze methode deugt?
Is er een betere methode?

q = 5.62 lijkt me beter:

61.4 / 2.17 = 28.294931
45.8 / 2.17 = 21.105991
27.5 / 2.17 = 12.672811
16.9 / 2.17 = 7.7880184
11.2 / 2.17 = 5.1612903

61.4 / 5.62 = 10.925267
45.8 / 5.62 = 8.1494662
27.5 / 5.62 = 4.8932384
16.9 / 5.62 = 3.0071174
11.2 / 5.62 = 1.9928826

en vergelijk hoe ver de 5 breuken van het dichtstbijzijnde gehele getal af liggen.

Gebruikte strategie:
Neem de kleinste meetwaarde (11.2) en kijk voor n = 1, 2, 3, ... welke q = 11.2/n voor de overige meetwaarden een goed resultaat oplevert (= alle breuken dicht bij een geheel getal).
Hier was dit voor n = 2, dus q = 11.2/2 = 5.6.
Kijk dan voor een aantal zeer kleine delta's welke (q +/- delta) een nog betere waarde oplevert.
In dit geval: delta = 0.02 en q_optimaal = 5.62 (met als keuze voor optimaal: optimaal = kleinste kwadratensom van de afstanden van de 5 breuken tot hun dichtstbijzijnde gehele getal).

Ik denk, dat dit inderdaad een efficiënte methode is.
Mijn compliment en dank.

Merk op dat de kleinste kwadraten methode een implementatie is van MLE. De som van de kwadraten van de residu's is omgekeerd evenredig met de 'likelihood'.

Overigens denk ik dat het en goed idee is om een gewogen kleinste kwadraten methode te gebruiken waarbij de residu's behorende bij grote waarden van n minder meetellen. Omdat je ook moet rekening houden met een onzekerheid op de n die groter gaat zijn voor grote waarden van n.

Ik ben wel nieuwsgierig wat in de praktijk de grootteorde van die n is in de proef van Millikan. Ik kan het niet terugvinden, maar mijn gevoel zegt dat het wel om hele grote waarden moet gaan.

Hier een youtube film met rond 5:00 minuten een tabel met meetwaarden:
https://www.youtube.com/watch?v=ijHKu6iXiRk
n lijkt tussen 20 en 30 te liggen.

Als je met de vernevelaar druppels met een diameter van 1µm kan maken, en als je die door de microscoop kan waarnemen, dan lijkt dit aannemelijk:
Neem de situatie dat de druppels blijven hangen:
q = Fg * d / V = m*g*d/V = rho * (4/3) * pi * r^3 * g * d / V
en met schatting van de waarden:
q = 900 * (4/3) * 3.14 * (0.5*10^(-6))^3 * 10 * 0.1 / 400
~= 900 * 4 * (0.5*10^(-6))^3 / 400
~= 9 * (0.5*10^(-6))^3
~= 1.1 * 10^(-18)
en dit is de grootte-orde zoals in bovenstaande youtube film.

Ik ben geen natuurkundige, maar als ik uitga van bovenstaande waarden en formules dan lijkt die film redelijk te kloppen.