Hoi,
In mijn cursus staat dat de Borel sigma-algebra de sigma-algebra opgespannen door verzamelingen ]-oneindig,a] is (-oneindig < a < +oneindig). Later staat dat het niet moeilijk aan te tonen is dat de verzamelingen {a} tot deze sigma-algebra behoren.
Hoe toon je dit aan?
De Borel Sigma-algebra
Re: De Borel Sigma-algebra
Ik vermoed dat je de definitie van een
-algebra kent? In dat geval, hoe kan je de singleton
nog schrijven? Met andere woorden, hoe kan je een singleton 'omvormen' tot een interval?
Hint: denk aan unies en doorsneden ...
Hint: denk aan unies en doorsneden ...
Re: De Borel Sigma-algebra
Als
, maar ik heb moeite om op elegante wijze aan te tonen dat gesloten / open intervallen tot deze sigma-algebra behoren, uitgaande van het idee dat deze opgespannen is door de half-open intervallen
.
Zijn er limieten voor nodig of kan dit enkel met gebruik van unies, doorsnedes & complementairen?
Zijn er limieten voor nodig of kan dit enkel met gebruik van unies, doorsnedes & complementairen?
Re: De Borel Sigma-algebra
Om te bewijzen dat voor elke reëel getal
het singleton
kan je de eigenschappen van een
-algebra toepassen. Herinner dat een
-algebra gesloten is onder het nemen van aftelbare doorsneden. Er geldt voor elke ![](http://latex.codecogs.com/png.latex?a \in \mathbb{R})
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\{a\} = \bigcap_{n=1}^{\infty} \left[a-\frac{1}{n}, a+\frac{1}{n}\right], \qquad (*))
Begrijp je dit? ... M.a.w het singleton is geschreven als een aftelbare unie van gesloten intervallen. Merk bijvoorbeeld ook op dat
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\left[a-\frac{1}{n}, a+\frac{1}{n}\right] = \left(\left]-\infty, a - \frac{1}{n} \right[ \cup \left]a+\frac{1}{n}, +\infty \right[\right)^{c},)
Algemeen
Men kan aantonen dat de Borel sigma
algebra op
is voortgebracht door eender welke klasse van de volgende intervallen:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\]-\infty, a], [a,+\infty[, ]a,+\infty[, ]-\infty, a[, [a,b[, [a,b], ]a,b[, ]a,b[)
Hiermee bedoel ik dat bijv.
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\{[a,b] \ | \ a,b \in \mathbb{R}\} \qquad (*),)
een voortbrenger is voor
. Hieruit volgt onmiddellijk dat elk singleton tot
behoort ( zie
). Het is eigenlijk gewoon een kwestie van wat te leren werken met unies, doorsneden, complementen etc.
Begrijp je dit? ... M.a.w het singleton is geschreven als een aftelbare unie van gesloten intervallen. Merk bijvoorbeeld ook op dat
Algemeen
Men kan aantonen dat de Borel sigma
Hiermee bedoel ik dat bijv.
een voortbrenger is voor
Re: De Borel Sigma-algebra
Super bedankt voor dit antwoord, ik snap wel nog steeds niet hoe men het kan bewijzen vanuit de half-open intervallen
; je antwoord vertrekt vanuit de veronderstelling dat gesloten intervallen tot de
-algebra behoren?