De Borel Sigma-algebra

Continue & discrete verdelingen, toevalsveranderlijken, betrouwbaarheidsintervallen, correlaties.
Plaats reactie
Kurkuma
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 24 mei 2016, 15:58

De Borel Sigma-algebra

Bericht door Kurkuma » 24 mei 2016, 16:03

Hoi,
In mijn cursus staat dat de Borel sigma-algebra de sigma-algebra opgespannen door verzamelingen ]-oneindig,a] is (-oneindig < a < +oneindig). Later staat dat het niet moeilijk aan te tonen is dat de verzamelingen {a} tot deze sigma-algebra behoren.

Hoe toon je dit aan?

Kinu
Moderator
Moderator
Berichten: 1144
Lid geworden op: 22 okt 2010, 15:38

Re: De Borel Sigma-algebra

Bericht door Kinu » 25 mei 2016, 13:52

Ik vermoed dat je de definitie van een -algebra kent? In dat geval, hoe kan je de singleton nog schrijven? Met andere woorden, hoe kan je een singleton 'omvormen' tot een interval?

Hint: denk aan unies en doorsneden ...

Kurkuma
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 24 mei 2016, 15:58

Re: De Borel Sigma-algebra

Bericht door Kurkuma » 25 mei 2016, 18:43

Als , maar ik heb moeite om op elegante wijze aan te tonen dat gesloten / open intervallen tot deze sigma-algebra behoren, uitgaande van het idee dat deze opgespannen is door de half-open intervallen .

Zijn er limieten voor nodig of kan dit enkel met gebruik van unies, doorsnedes & complementairen?

Kinu
Moderator
Moderator
Berichten: 1144
Lid geworden op: 22 okt 2010, 15:38

Re: De Borel Sigma-algebra

Bericht door Kinu » 25 mei 2016, 19:54

Om te bewijzen dat voor elke reëel getal het singleton kan je de eigenschappen van een -algebra toepassen. Herinner dat een -algebra gesloten is onder het nemen van aftelbare doorsneden. Er geldt voor elke

Begrijp je dit? ... M.a.w het singleton is geschreven als een aftelbare unie van gesloten intervallen. Merk bijvoorbeeld ook op dat


Algemeen
Men kan aantonen dat de Borel sigma algebra op is voortgebracht door eender welke klasse van de volgende intervallen:

Hiermee bedoel ik dat bijv.

een voortbrenger is voor . Hieruit volgt onmiddellijk dat elk singleton tot behoort ( zie ). Het is eigenlijk gewoon een kwestie van wat te leren werken met unies, doorsneden, complementen etc.

Kurkuma
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 24 mei 2016, 15:58

Re: De Borel Sigma-algebra

Bericht door Kurkuma » 26 mei 2016, 21:05

Super bedankt voor dit antwoord, ik snap wel nog steeds niet hoe men het kan bewijzen vanuit de half-open intervallen ; je antwoord vertrekt vanuit de veronderstelling dat gesloten intervallen tot de -algebra behoren?

Plaats reactie