Kans op minstens 1x precies twee dezelfde knikkers
Geplaatst: 11 aug 2016, 08:53
Ik heb een puzzel waar ik niet uit kom, wie er uit komt ben ik erg dankbaar:
Stel je hebt een vaas met M knikkers. Daaruit trek ik er n met terugleggen. Hoe groot is nu de kans dat ik minstens 1 knikker precies 2 keer trek? Dus niet minder of meer dan dubbel. Dus stel ik trek er 5 (n=5), dan voldoen de volgende trekkingen:
3, 3, 1, 5, 6
3, 3, 1, 4, 4 (zowel 3 als 4 worden precies twee keer getrokken)
Maar de volgende niet, omdat geen enkele knikker precies 2 keer is getrokken:
3, 3, 3, 1, 2 (3 komt meer dan, dus niet precies 2x voor)
1, 2, 3, 4, 5
4, 4, 4, 4, 1
Ik heb al een antwoord op een deelprobleem: de kans dat een specifieke knikker precies 2 keer voor komt. Dat kan je op twee verschillende manieren benaderen; van de grond af met Laplace, of via de binomiale verdeling.
Binomiale verdeling: de kans p dat je de specifieke knikker pakt is 1/M, en aangezien we terugleggen blijft deze kans gelijk gedurende de trekking, dus kun je:
De geldigheid van deze toepassing kan bewezen worden met Laplace, ik laat het bewijs hier nu achterwege (mocht iemand geinteresseerd zijn, laat het weten).
Maar nu wil ik weten wat deze kans is voor een willekeurige knikker.
Je zou dit kunnen benaderen m.b.v. de somregel, want het gaat hier om een 'of' situatie: je trekt knikker m1 precies 2 keer, of je trekt knikker m2 precies 2 keer, etc. Dan zou je simpelweg kunnen vermenigvuldigen met M, maar dat mag niet: de somregel eist dat de gebeurtenissen elkaar uitsluiten, en dat is niet het geval: je kunt in een trekking immers meerdere knikkers precies 2 keer trekken. Die gebeurtenissen zou je dan dubbel tellen.
Iemand heeft al eerder gesuggereerd om het alsvolgt te benaderen:
De kans dat je een specifieke knikker niet precies 2 keer trekt is:
De kans dat je een willekeurige knikker niet precies 2 keer trekt is (hypothese):
En dan kun je dit als laatste stap weer aftrekken van 1 om het uiteindelijke antwoord te krijgen, maar ik ben niet zeker van de bovenstaande hypothese. Hier wordt de vermenigvuldigingsregel toegepast. Dat mag in geval van een 'en' situatie, maar alleen als de ene kans de ander niet beinvloedt, en dat laatste ben ik nog niet over uit.
Heeft iemand hier antwoord op?
Stel je hebt een vaas met M knikkers. Daaruit trek ik er n met terugleggen. Hoe groot is nu de kans dat ik minstens 1 knikker precies 2 keer trek? Dus niet minder of meer dan dubbel. Dus stel ik trek er 5 (n=5), dan voldoen de volgende trekkingen:
3, 3, 1, 5, 6
3, 3, 1, 4, 4 (zowel 3 als 4 worden precies twee keer getrokken)
Maar de volgende niet, omdat geen enkele knikker precies 2 keer is getrokken:
3, 3, 3, 1, 2 (3 komt meer dan, dus niet precies 2x voor)
1, 2, 3, 4, 5
4, 4, 4, 4, 1
Ik heb al een antwoord op een deelprobleem: de kans dat een specifieke knikker precies 2 keer voor komt. Dat kan je op twee verschillende manieren benaderen; van de grond af met Laplace, of via de binomiale verdeling.
Binomiale verdeling: de kans p dat je de specifieke knikker pakt is 1/M, en aangezien we terugleggen blijft deze kans gelijk gedurende de trekking, dus kun je:
De geldigheid van deze toepassing kan bewezen worden met Laplace, ik laat het bewijs hier nu achterwege (mocht iemand geinteresseerd zijn, laat het weten).
Maar nu wil ik weten wat deze kans is voor een willekeurige knikker.
Je zou dit kunnen benaderen m.b.v. de somregel, want het gaat hier om een 'of' situatie: je trekt knikker m1 precies 2 keer, of je trekt knikker m2 precies 2 keer, etc. Dan zou je simpelweg kunnen vermenigvuldigen met M, maar dat mag niet: de somregel eist dat de gebeurtenissen elkaar uitsluiten, en dat is niet het geval: je kunt in een trekking immers meerdere knikkers precies 2 keer trekken. Die gebeurtenissen zou je dan dubbel tellen.
Iemand heeft al eerder gesuggereerd om het alsvolgt te benaderen:
De kans dat je een specifieke knikker niet precies 2 keer trekt is:
De kans dat je een willekeurige knikker niet precies 2 keer trekt is (hypothese):
En dan kun je dit als laatste stap weer aftrekken van 1 om het uiteindelijke antwoord te krijgen, maar ik ben niet zeker van de bovenstaande hypothese. Hier wordt de vermenigvuldigingsregel toegepast. Dat mag in geval van een 'en' situatie, maar alleen als de ene kans de ander niet beinvloedt, en dat laatste ben ik nog niet over uit.
Heeft iemand hier antwoord op?