Binominaal of poisson : Engelse drop.

Continue & discrete verdelingen, toevalsveranderlijken, betrouwbaarheidsintervallen, correlaties.
Plaats reactie
Mamaantje
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 09 jun 2017, 23:46

Binominaal of poisson : Engelse drop.

Bericht door Mamaantje » 10 jun 2017, 07:12

Hoi, ik ben nieuw op de forum en wilde graag wat aan jullie voorleggen. Van de week zag ik op Facebook een vermakelijke post over een zak Engelse drop waarin 2 specifieke soorten dropjes ontbraken. De fabrikant vond dit toeval en vervolgens hebben een aantal mensen getracht (waaronder ik) om de kans op dit toeval te berekenen. Een voor mij onbekende heeft toen mij persoonlijk benaderd met een andere zienswijze op deze som en we zijn nu in een amicale discussie verwikkeld hierover. Het lukt niet elkaar te overtuigen. Graag jullie inzicht.....

Casus:
1 zak drop met inhoud 50 dropjes.
Er zijn 7 verschillende soorten dropjes.
Hoe groot is de kans dat mijn 2 favoriete soorten beiden niet in de zak zitten?

Ons voornaamste discussiepunt is binominaal of poisson verdeling.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3051
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Binominaal of poisson : Engelse drop.

Bericht door arie » 10 jun 2017, 09:49

Als:
- alle dropjes getrokken worden uit een hele grote meng-silo
- elke soort een kans van 1/7 heeft om getrokken te worden
- gelijksoortige dropjes niet aan elkaar blijven plakken,
etc.

Met andere woorden: als elk soort dropje een onafhankelijke kans van 1/7 heeft om getrokken te worden,
dan is de kans p dat een favoriet dropje getrokken wordt 2/7,
en de kans q dat een niet-favoriet dropje getrokken wordt 5/7.
Nu is de vraag:
Hoe groot is de kans dat bij een trekking van 50 dropjes alle dropjes niet-favoriet zijn.


Vergelijk dit bijvoorbeeld met het werpen van een dobbelsteen:
Als je 3 keer werpt, hoe groot is dan de kans dat er geen enkele (favoriete) 6 gegooid wordt?

Kom je hiermee verder?

Mamaantje
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 09 jun 2017, 23:46

Re: Binominaal of poisson : Engelse drop.

Bericht door Mamaantje » 10 jun 2017, 18:09

Hoi. Thanks. Ik had zelf dus gepost dat de kans (5/7)^50 * 100% was, met de aaanname dat de silo voldoende groot was om aan te mogen nemen dat het een niet veranderende kans is (want eigenlijk is het natuurlijk een experiment zonder teruglegging en dan verandert de kans wel); je veronderstelt dan binominaal.

Mijn opponent corrigeerde mij hierop en zei dat ik het volgens de poissonverdeling moest benaderen.
Maar waarom precies is mij nog niet duidelijk.
Hij veronderstelt bij 7 snoepjes een kans van (1/e7).

Als ik jouw antwoord lees zitten wij op hetzelfde denkspoor.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3051
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Binominaal of poisson : Engelse drop.

Bericht door arie » 10 jun 2017, 20:14

Klopt, je binomiale berekening is correct.
De Poisson verdeling wordt vaak gebruikt als benadering hiervoor, zie bv:
https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_l ... em#Theorem
Dit omdat de Poisson waarde voor grotere getallen doorgaans eenvoudiger is uit te rekenen dan de binomiale waarde.

Deze benadering werkt beter naarmate n groter wordt, en k en p kleiner worden.
In ons geval is k=0, dus houden we over:






Hier een drietal voorbeelden (steeds met k=0):

[1]
n = 50
p = 2/7
lambda = n*p = 100/7
B = 0.0000000493853591056010316845068605
P = 0.0000006248749509463090078979900996

[2]
n = 500
p = 2/70
lambda = n*p = 100/7
B = 0.0000005075003498728148994529974509
P = 0.0000006248749509463090078979900996

[3]
n = 5000
p = 2/700
lambda = n*p = 100/7
B = 0.0000006122277977398790408201352465
P = 0.0000006248749509463090078979900996


Bij [1] zien we de correcte binomiale kans B van ons probleem, en de Poisson benadering P hiervoor.
Bij [2] en [3] blijft lambda constant, maar wordt n steeds groter en p steeds kleiner.
De benadering wordt daarmee steeds beter.
Merk verder op: omdat in ons geval k=0, is P alleen afhankelijk van lambda, en omdat lambda constant blijft, blijft ook P constant in alle 3 de voorbeelden.

Plaats reactie