vraagje

[vooskaert]

tijdens het studeren zit ik al een tijdje met de volgende ingewikkelde vraag in mijn hoofd,

in de ksa, spelen we af en toe een spelletje dobbelen, hierbij wordt met drie gelijke dobbelstenen gegooid, met de bedoeling 421 (quat-vingt-et-un uitgesproken, redelijk plat) maar ik vroeg me af wat die kans was.

normaal zou dit een eenvoudig vraagstuk zijn, maar het is zo dat je met die drie dobbelstenen drie maal mag gooien, en als je een 4 en 2 of een 1 hebt, je deze aan de kant houdt.

ik heb deze al eens proberen uit te rekenen, maar ik veronderstel dat dit niet op de goede manier was. ik splitste namelijk de hele situatie uiteen, in alle mogelijke manieren om 421 te gooien, in drie keren (direct drie goede), in twee keer (twee- een) in twee keer (een-twee), in twee keer (nul-drie), in drie keer (0-0-3), (0,1,2),(0,2,1),(1,1,1),(1,0,2),(2,0,1). als ik dit uitrekende kwam ik aan een overdreven getal (met in de noemer iets van ongeveer 186.000) wat ongeveer gelijk was aan 19,5% maar ik weet niet of dit eventueel eenvoudiger kan

[arie]

Ik kom uit op een iets ander getal met een wat andere manier van tellen:

Tel eerst alle mogelijkheden met 1 worp:

Worp met 3 stenen (totaal 6^3 = 216 mogelijkheden):
- 3 goed: 6 mogelijkheden
- 2 goed: 72 mogelijkheden
- 1 goed: 111 mogelijkheden
- 0 goed: 27 mogelijkheden

Worp met 2 stenen (totaal 6^2 = 36 mogelijkheden):
- 2 goed: 2 mogelijkheden
- 1 goed: 18 mogelijkheden
- 0 goed: 16 mogelijkheden

Worp met 1 steen (totaal 6 mogelijkheden):
- 1 goed: 1 mogelijkheid
- 0 goed: 5 mogelijkheden

[Het idee hierachter is dat je met 2 of 1 dobbelstenen mag doorgooien als je 1 of meer gewenste waarden geselecteerd hebt, bijvoorbeeld: eerste worp {4, 3, 4}, dan leg je een 4 aan de kant en gooi je met de 2 andere dobbelstenen door. Met deze moet je dan een 2 en/of een 1 zien te gooien etc.]

Maak nu een recursieve functie P(n, w), die afhankelijk van het aantal dobbelstenen = n en het aantal worpen = w de kans op winst geeft.
Als w = 0 en n>0 is P(n,w) = 0: je kan zonder te werpen nooit een goed resultaat krijgen.
Als w > 0 dan bekijken we het resultaat van de huidige worp, selecteren de dobbelstenen met goede waarden, en gooien met de overgebleven dobbelstenen nog maximaal (w-1) keer. De totale kans is de som van de mogelijke situaties, elk vermenigvuldigd met de kans dat de situatie zich voordoet (~ mogelijkheden zoals hierboven aangegeven).

Zo ontstaat de volgende definitie:

Code: Selecteer alles

P(n, w) = 
    als w=0:
        0
    als w>0:
        als n=3:
            6/216 + (72/216)*P(1,w-1) + (111/216)*P(2,w-1) + (27/216)*P(3,w-1)
        als n=2:
            2/36 + (18/36)*P(1,w-1) + (16/36)*P(2,w-1)
        als n=1:
            1/6 + (5/6)*P(1,w-1)

Als je deze functie aanroept met P(3, 3) = de kans op winst met 3 dobbelstenen in 3 worpen, dan vind je als antwoord P(3, 3) ~= 0.22811107 ~= 22.81 %

Als je van programmeren houdt:
Veel programmeertalen kunnen dergelijke functies aan.
De vertaling naar bijvoorbeeld C en Java achtige talen is:

Code: Selecteer alles

double P421(int n, int w)
{
double r;

if(w==0)
	r=0.0;
else{
	if(n==3)
		r=(6.0/216.0)+(72.0/216.0)*P421(1,w-1)+(111.0/216.0)*P421(2,w-1)+(27.0/216.0)*P421(3,w-1);
	else if(n==2)
		r=(2.0/36.0)+(18.0/36.0)*P421(1,w-1)+(16.0/36.0)*P421(2,w-1);
	else
		r=(1.0/6.0)+(5.0/6.0)*P421(1,w-1);
	}
return(r);
}

Het voordeel is dat je zo voor vele waarden van w de kans op winst eenvoudig kunt berekenen.
Voorbeeld: de kans is dat je {4,2,1} kunt verzamelen in w = 0 t/m 100 worpen die je erover mag doen:

Code: Selecteer alles

w	P(3,w)
0	0.00000000
1	0.02777778
2	0.11535494
3	0.22811107
4	0.34114487
5	0.44398947
6	0.53355942
7	0.60992203
8	0.67432275
9	0.72833017
10	0.77348753
11	0.81118586
12	0.84263099
13	0.86884854
14	0.89070240
15	0.90891657
16	0.92409621
17	0.93674643
18	0.94728850
19	0.95607367
20	0.96339469
21	0.96949556
22	0.97457962
23	0.97881635
24	0.98234696
25	0.98528913
26	0.98774094
27	0.98978412
28	0.99148677
29	0.99290564
30	0.99408803
31	0.99507336
32	0.99589447
33	0.99657872
34	0.99714893
35	0.99762411
36	0.99802009
37	0.99835008
38	0.99862507
39	0.99885422
40	0.99904518
41	0.99920432
42	0.99933693
43	0.99944744
44	0.99953954
45	0.99961628
46	0.99968023
47	0.99973353
48	0.99977794
49	0.99981495
50	0.99984579
51	0.99987149
52	0.99989291
53	0.99991076
54	0.99992563
55	0.99993803
56	0.99994836
57	0.99995696
58	0.99996414
59	0.99997011
60	0.99997509
61	0.99997925
62	0.99998270
63	0.99998559
64	0.99998799
65	0.99998999
66	0.99999166
67	0.99999305
68	0.99999421
69	0.99999517
70	0.99999598
71	0.99999665
72	0.99999721
73	0.99999767
74	0.99999806
75	0.99999838
76	0.99999865
77	0.99999888
78	0.99999906
79	0.99999922
80	0.99999935
81	0.99999946
82	0.99999955
83	0.99999962
84	0.99999969
85	0.99999974
86	0.99999978
87	0.99999982
88	0.99999985
89	0.99999987
90	0.99999990
91	0.99999991
92	0.99999993
93	0.99999994
94	0.99999995
95	0.99999996
96	0.99999996
97	0.99999997
98	0.99999998
99	0.99999998
100	0.99999998