Kaartspel kansspel - problemen met de verwachtingswaarde

[nilrecurring]

Hey allemaal! Ik heb een eigen kansspel ontworpen, en probeer nu de verwachtingswaarde op te stellen. Dit lukt me niet helemaal, en daarom heb ik een aantal vragen...

Het spel werkt als volgt:

je neemt een pak kaarten en haalt de joker(s) eruit. De volgorde van de kaarten is aas, twee, drie, vier, vijf, zes, zeven, acht, negen, tien, boer, vrouw, koning. Bij dit spel hoef je maar te letten op twee dingen: hoog of laag, en rood of zwart. Om te beginnen schud je de kaarten goed door elkaar, en leg je het stapeltje op de kop op tafel. De eerste kaart wordt er met de voorkant naar boven naast gelegd, zodat iedereen kan zien wat de beginkaart is. Vervolgens raad iedereen omstebeurt of de volgende kaart hoger of lager zal zijn dan de beginkaart, en of de kaart rood of zwart zal zijn. Als dit allebei goed geraden is, is de volgende aan de beurt en als het fout is moet de speler evenveel slokken drank drinken als het aantal kaarten dat op de beginkaart ligt. Als de kaart hetzelfde is als de beginkaart, mag er nog een keer gepakt worden (en nog een keer gekozen, hoger/lager, zwart/rood). De kaart die fout geraden werd komt daar ook bij op te liggen. Zodra iemand af is, moet diegene het aantal kaarten die geweest zijn tellen, en heeft zoveel minpunten (of moet zoveel slokken drank drinken).


Er zijn twee kansen waar je in dit spel mee te maken hebt.
Allereerst de kans of de kaart hoger of lager is dan de vorige kaart, dit is per spel anders en hangt af van de voorgaande kaart. Als tweede de kans dat een kaart rood of zwart is. Die kans hangt ook af van de beginkaart, en wordt met elke gespeelde kaart 1/51ste kleiner voor of zwart of rood. De kansen zijn bij iedere ronde wat betreft hoger of lager hetzelfde, dus die kansen en de kleurkansen voor de eerste ronde heb ik uitgerekend.

Nu heb ik het spel zelf een aantal keer gespeeld, en bijgehouden wat er gekozen werd etc.
Hiervan heb ik de kans uitgerekend dat je goed gokte (dus de beginkaart is een rode 6, en je koos als volgende kaart ''hoger, zwart'' (die kansen doe je keer elkaar) en dit klopte). Dus de kans dat het fout ging, is 1-p(goed).

De verwachting of verwachtingswaarde van een stochast X bereken je door de kansen, P(X=k), te vermenigvuldigen met k en de uitkomsten op te tellen. De stochast X is in dit geval het aantal strafpunten, k is het aantal kaarten op de stapel en de verwachtingswaarde E(X) is dus de te verwachten hoeveelheid strafpunten per ronde.
P(verkeerde kaart gekozen, dus af, dus strafpunten) keer het aantal kaarten op de stapel (k). De stochast X is dan de verwachtingswaarde van hoeveel strafpunten je krijgt.

voorbeeld (spel met 7 rondes, de kansen zijn de kans op verliezen en k is aantal kaarten/strafpunten)

E(X) = p x k(door na ronde 1) + p x k(door na ronde 2) + p x k(door na ronde 3) + p x k(door na ronde 4) + p x k(door na ronde 5) + p x k(door na ronde 6) + p x k(af na ronde 7)

Dus E(X) van dit potje = 0,5602 x 0 + 0,65 x 0 + 0,6102 x 0 + 0,7404 x 0 + 0,502 x 0 + 0,7051 x 0 + 0,7842 x 8 = 6,2736

In dit spel van 8 rondes, heb je dus gemiddeld 6,3 strafpunten. De zetten voor de laatste zet, spelen niet mee in de einduitkomst omdat er geen gevolgen/strafpunten zitten aan wél doorgaan. Dus alleen de ronde waarbij er verkeerd gegokt wordt en het potje afgelopen is, is bepalend voor de verwachtingswaarde van het hele potje. Dit betekend dat naarmate er meer goed gegokt wordt en er meer beurten zijn, de verwachtingswaarde van het aantal strafpunten hoger ligt. Ook hangt de verwachtingswaarde af van de kans die er is om te verliezen. Hoe groter de kans om te verliezen, hoe groter de verwachtingswaarde van de strafpunten.

Ik snap niet of het mogelijk is de totale verwachtingswaarde van dit spel uit te rekenen..
Wat heb ik nu precies uitgerekend met die 6,2736?
Of is het zo dat je bij ieder potje dus alleen van de laatste zet de verwachtingswaarde uit kunt rekenen?
Ik kom er helemaal niet meer uit! (help!)