Pittige som over (voorwaardelijke) kansen?

[tsagld]

Arie bedankt voor deze heldere toelichting!

Dat betekent dat Daco gelijk heeft, terwijl ik zo overtuigd was....

[tsagld]

Nu ik er over nadenk was mijn redenatie om uit te gaan van de verhouding tussen de kansen dat I en II het goed hebben, niet eens zo slecht. Slechts een denkfoutje zette mij op het verkeerde spoor.

De volgende janboerenfluitjes redenering komt ongetwijfeld op hetzelfde neer als Arie's verhaal:
A. De kans dat I het goed heeft en II fout is 0.18
B. De kans dat I het fout heeft en II goed is 0.08

I en II voorspellen niet hetzelfde (gegeven), dus in deze situatie moet
1. A+B = 1
en we weten dat:
2. A/B = 0.18/0.8

Dit levert A = 9/13....het juiste antwoord.

Akkoord, Arie?

[David]

Hallo Arie,

Bedankt voor je uitleg, van een formule begrijp ik niet P(A|B) = P(A en B) / P(B): hoe moet je die gebruiken? Kan je me zeggen hoe je die kan gebruiken of een bron voor informatie geven. (niet meer nodig, want: http://nl.wikipedia.org/wiki/Theorema_van_Bayes)
tsagld, je hebt gelijk, die redenatie was niet eens zo slecht...

[arie]

Dit levert A = 9/13....het juiste antwoord.
Akkoord, Arie?

Dit klopt als de kans op regen (=r) gelijk is aan de kans op zon in het betreffende gebied (dus beide gelijk aan 0.5; wsch heeft de vraagsteller dit bedoeld).

In het algemeen geldt voor de kans op regen:
P(regen | I=regen en II=zon) = 1.8*r/(r+0.8 )
zoals hierboven afgeleid.

Hier wat meer kansen (afgerond op 2 decimalen):
r=0.0 => P(regen | I=regen en II=zon) = 0.00
r=0.1 => P(regen | I=regen en II=zon) = 0.20
r=0.2 => P(regen | I=regen en II=zon) = 0.36
r=0.3 => P(regen | I=regen en II=zon) = 0.49
r=0.4 => P(regen | I=regen en II=zon) = 0.60
r=0.5 => P(regen | I=regen en II=zon) = 0.69
r=0.6 => P(regen | I=regen en II=zon) = 0.77
r=0.7 => P(regen | I=regen en II=zon) = 0.84
r=0.8 => P(regen | I=regen en II=zon) = 0.90
r=0.9 => P(regen | I=regen en II=zon) = 0.95
r=1.0 => P(regen | I=regen en II=zon) = 1.00

Noot: als je weet dat r=0 of r=1 zal je in het gebied geen weerstation plaatsen, en zeker geen 2, en helemaal niet 2 die het weer in deze gebieden zo slecht voorspellen

Opgave:
Voor een bepaalde plaats en tijd doen 2 weerstations, I en II, een weersvoorspelling: regen of zon.
Bekend is dat I in 9 van de 10 gevallen goed voorspelt, en II in 8 van de 10 gevallen.
Vraag: Als I regen voorspelt en II zon, wat is dan de kans op regen?

Nog lastiger wordt het als de foutkans voor regen ongelijk is aan de foutkans voor zon.
Stel het regent in werkelijkheid in precies de helft van de gevallen (dus r=0.5).
Indien station I zowel zon als regen even vaak fout heeft, maar station II van elke 10 voorspellingen:
- 3 keer zon voorspelt als de zon ook werkelijk gaat schijnen
- 2 keer regen voorspelt als de zon in werkelijkheid gaat schijnen (2 fout)
- 5 keer regen voorspelt als het ook werkelijk gaat regenen.
In deze situatie heeft station II dus 8 van de 10 (ofwel 4 van de 5) gevallen goed, zoals aangegeven in de opgave. Maar dit betekent wel dat de zon altijd zal schijnen als station II zon voorspelt.
In dit geval zou de kans op regen dus gelijk zijn aan nul.
Kortom: de opgave laat in deze vorm nog een aantal belangrijke gegevens achterwege die we wel nodig hebben. Vandaar de uitgebreide discussie.

P(A|B) = ... bron voor informatie ...

zie ook http://nl.wikipedia.org/wiki/Voorwaardelijke_kans, maar die had je wsch ook al gevonden.