Pittige som over (voorwaardelijke) kansen?

[Joesje]

Hey hey

Ik ben nu al een uur bezig met een som en ik kom er nog steeds niet uit.
Ik heb het gevoel dat ik te moeilijk denk! wie kan me hierbij helpen?


Opgave:
Voor een bepaalde plaats en tijd doen 2 weerstations, I en II, een
weersvoorspelling: regen of zon.
Bekend is dat I in 9 van de 10 gevallen goed voorspelt, en II in 4 van de 5 gevallen.
Vraag: Als I regen voorspelt en II zon, wat is dan de kans op regen?




Ik hoop dat iemand me kan helpen!

[David]

Hallo Joesje,

Als het echt zo moet zijn dat er alleen maar of regen of zon is, moet I een goede voorspelling doen, en II en foute voorspelling. Hoe groot is de kans dat I een goede voorspelling doet? Hoe groot is de kans dat II een foute voorspelling doet? Als het zo is dat er een beetje zon en een beetje regen is, mag alleen de situatie niet dat voor allebei de stations zon komt. dan heeft I het niet juist en II het wel juist. Hoe groot is dan de kans op (een beetje) regen?

[tsagld]

Daco, het ligt hier iets ingewikkelder. Je hebt hier een extra gegeven, namelijk dat precies één van beide weerstations het fout heeft. Je kunt hier niet zomaar de kansen vermenigvuldigen.

[David]

Maar je kan toch zeggen: of I en II goed, of I goed en II fout of I fout en II goed of I en II fout.
Gevolg I en II goed: zon en regen (mag dat?)
Gevolg I goed en II fout: regen
Gevolg I fout en II goed: zon
Gevolg I en II fout: zon en regen (mag dat?)
Klopt dit of moet je het anders zien. Het gegeven dat precies een weerstation het fout heeft haal je uit 2 verschillende voorspellingen?

[tsagld]

De vraagstelling is zodanig dat het voor de hand ligt dat er op de betreffende dag of alleen regen is, of alleen zon.
En dus zijn er slechts twee mogelijkheden: I goed en II fout, of andersom.

[David]

Tsagld, Als we daarvanuitgaan is de kans van die twee gevallen die jij noemt samen 100%. Allebei fout kan ook, bijv bij sneeuwval, zonder zon en zonder regen. Naar mijn ervaring kan je ook een combinatie van regen en zon hebben. Die combinatie kan een regenboog leveren. Dan allebei goed dus.

[tsagld]

Als we daarvanuitgaan is de kans van die twee gevallen die jij noemt samen 100%

Dat dank je de koekoek. Alle mogelijkheden samen geeft altijd een kans van 100%.
De vraag was: wat is de kans op regen. Dus wat is de kans dat I het goed heeft.

Uit de vraag blijkt in feite dat die kans 0,9 is. Maar redenerend vanuit station II is de kans 0,2.
De kansen samenstellen zou 0,18 geven, maar dat is niet correct vanwege het extra gegeven dat als de een het fout heeft de ander het zeker goed heeft.

De vraag is dus wat lastiger dan het in eerste instantie lijkt en ik weet het antwoord ook zo niet.

Of er zowel zon als regen kan komen in deze vraag ligt niet voor de hand, maar misschien dat de TS daar uitsluitsel over kan geven.

[David]

Hallo Tsagld,

Mijn excuses, dat was een beetje cryptisch geformuleerd. Wat ik daarmee bedoelde, was dat je die twee mogelijkheden samen 100% stelt, en dat dus dan niet allebei goed of allebei fout zijn, want dan zou de kans hoger dan 100% zijn. Als je dan uitgaat van of zon of regen, geen enkele andere weersomstandigheid of combinatie van beiden, dan is de kans dat I het goed heeft 0.9*0.2=0.18, de kans dat II het goed heeft, is dan 0.8*0.1=0.08, samen 0.08+0.18=0.26, stel dat getal 100%, dan de kans dat I het goed heeft is 0.18/0.26*100%, de kans dat II het goed heeft is 0.08/0.26*100%. Sorry, iets anders kan ik voor dat geval niet bedenken.

[tsagld]

dan is de kans dat I het goed heeft 0.9*0.2=0.18

Dit is volgens mij dus niet correct. De kans dat I het goed heeft is 0.9. Dat is namelijk gewoon gegeven.

Andere redenatie:
Precies één van beide weerstations heeft het fout (gegeven).
De kans dat II het fout heeft is 0.2 en dat is twee keer zo groot als de kans dat I het fout heeft (0.1).

De kans dat I het fout heeft is derhalve 1/3 en de kans dat II het fout heeft is 2/3.

Conclusie: de kans op regen is 2/3.

Hmm...hoe meer ik er over nadenk, hoe meer ik ervan overtuigd ben dat dit het goede antwoord is.

(Arie, Safex ?)

[David]

Hallo Tsagld,

Je weet: de kans dat een weerstation het goed heeft + de kans dat een weerstation het fout heeft = 100%.
Je geeft: De kans dat I het fout heeft is derhalve 1/3 en de kans dat II het fout heeft is 2/3.
Dat levert dat de kans dat I het goed heeft, = 1-1/3 = 2/3. de kans dat II het goed heeft is 1-2/3 = 1/3. In de gegevens komen andere getallen naar voren, net als bij mijn redenering. Misschien is een beetje hulp inderdaad wel handig...

[tsagld]

Het grappige is hier dat de vraag andere kansen per weerstation stelt, maar daarnaast het extra gegeven dat precies één van beide stations het fout heeft. En dat verandert de kansen.

In mijn hiervoor gegeven redenatie wordt hiermee rekening gehouden. Ik ben er 99% van overtuigd dat deze redenatie klopt en dat de kans op regen derhalve 2/3 is. (De 0.26 die je eerder noemde kan ook niet. Je voelt wel aan dat de kans groter dan 1/2 moet zijn).

Maar een bevestiging van een goeroe kan geen kwaad...

Het is wel een erg leuk vraagstuk!

[David]

Sorry, mij is het niet helemaal duidelijk. De weerlegging voor mijn redenatie is dat gegeven is dat die kans dat het goed is is 0.9 voor I. Daarmee zou jou redenatie ook weerlegt mee moeten worden. Of is het volgende onjuist?
De kans dat een weerstation het goed heeft + de kans dat een weerstation het fout heeft = 100%.
Als dit juist is, moeten we het idee dat de kans dat I gelijk heeft = 0.9 laten varen. want met jou redenatie is die kans nl 1/3. Kan je me uitleggen waarom 0.26 niet kan? ik kom op een kans uit van 0.18/0.26. Dat is groter dan een half. Ik redeneerde namelijk zo: er zijn 4 mogelijkheden:
of I en II goed, of I goed en II fout of I fout en II goed of I en II fout.
Als het zo is, alleen of regen of zon en geen andere weersomstandigheid, dan alleen
of I goed en II fout of I fout en II goed. die 2 samen vormen dan het totaal, de 100%. uit de gegevens volgt:
100% staat gelijk aan 0.26 etc etc...

[tsagld]

Als het zo is, alleen of regen of zon en geen andere weersomstandigheid, dan alleen
of I goed en II fout of I fout en II goed. die 2 samen vormen dan het totaal, de 100%.

Dit klopt. Je kunt het ook eenvoudiger zeggen: óf I heeft het goed, óf II heeft het goed. Dat zijn de enige mogelijkheden.
En de kans dat I het goed heeft is twee keer zo groot als dat II het goed heeft.
2/3 dus.

Waar jij volgens mij fout gaat is dat je de kansen dat I het goed heeft en II fout onafhankelijk maakt van elkaar. Je redeneert dat beide moeten plaatsvinden en ze dus met elkaar vermenigvuldigt. En dat is niet goed, want als I het goed heeft is de kans dat II het fout heeft 100%.

Maar voor mij is wiskunde alleen maar een hobby, ik zie graag bevestiging van de beter opgeleiden hier...

[David]

Je zegt: En de kans dat I het goed heeft is twee keer zo groot als dat II het goed heeft.
2/3 dus. Dat begrijp ik niet hoe je daarachter komt. In de gegevens staat dat de kans dat I het goed heeft 0.9 (9 uit 10) en 0.8 (4 uit 5) dat II het goed heeft. 0.9/0.8≠2. Als je redeneert: Als I het goed heeft heeft II het fout of
Als II het goed heeft heeft I het fout, of zelfs Als I het fout heeft heeft II het goed of Als II het fout heeft heeft I het goed. De twee weerstations zijn dan afhankelijk van elkaar lijkt wel. Dan moet je de kansen toch vermenigvuldigen? Ik denk dat we in hetzelfde schuitje zitten... ik studeer psychologie.

[arie]

Er is hier al heel wat geschreven!
De opgave is ook zeer beknopt en roept daardoor nogal wat vragen op.

Om te beginnen neem ik aan dat er slechts 2 situaties bestaan:
OFWEL regen OFWEL zon
Je kan dit ook zien als "OFWEL regen OFWEL geen regen".
Gaan we er meer situaties bij betrekken (bewolking, zon en regen tegelijkertijd, onderscheid tussen motregen, regen of stortregen etc) dan hebben we hier nog veel meer informatie nodig om uitspraken over de kansen te kunnen doen.

Er ontbreekt hier de kans op regen in het gebied (mogelijk is er in de opgave een extra gegeven, bijvoorbeeld dat het even vaak regent als droog is?).
Ga daarom uit van de algemene situatie, en noem de kans op regen in het gebied voorlopig r,
met 0<=r<=1.
De kans op zon is dan (1-r).

We hebben nu de volgende 8 mogelijke situaties met elk hun kansen (noot voor de fijnproevers: met nog een extra aanname dat de voorspellingen voor regen en zon gelijke foutkans hebben):

- het regent, I=regen, II=regen: r*(9/10)*(8/10) = 0.72*r
- het regent, I=regen, II=zon: r*(9/10)*(2/10) = 0.18*r
- het regent, I=zon, II=regen: r*(1/10)*(8/10) = 0.08*r
- het regent, I=zon, II=zon: r*(1/10)*(2/10) = 0.02*r

- zon schijnt, I=zon, II=zon: (1-r)*(9/10)*(8/10) = 0.72*(1-r)
- zon schijnt, I=zon, II=regen: (1-r)*(9/10)*(2/10) = 0.18*(1-r)
- zon schijnt, I=regen, II=zon: (1-r)*(1/10)*(8/10) = 0.08*(1-r)
- zon schijnt, I=regen, II=regen: (1-r)*(1/10)*(2/10) = 0.02*(1-r)

Nu zijn de volgende weersvoorspellingen gegeven: I=regen, II=zon.
Dit houdt in dat we de kans op regen (=A) moeten berekenen onder voorwaarde (=B) dat I=regen en II=zon.
Gebruik hiervoor de formule voor voorwaardelijke kansen:
P(A|B) = P(A en B) / P(B):

Dit levert hier:

P(regen EN (I=regen en II=zon)) = 0.18*r

P(I=regen en II=zon)
= P(regen EN (I=regen en II=zon)) + P(zon EN (I=regen en II=zon))
= 0.18*r + 0.08*(1-r)

dus voor de voorwaardelijke kans:
P(regen | I=regen en II=zon) = 0.18*r / (0.18*r+0.08*(1-r)) = 1.8*r/(r+0.8 )
en dit zou het antwoord moeten zijn.


Mogelijk heeft de maker van de opgave bedoeld r=0.5 (dus kans op regen = kans op zon in het gebied), dan geldt:
P(regen | I=regen en II=zon) = 0.18 / (0.18+0.08) = 18/26 = 9/13 ~= 0.69...

Indien r=0 (ongeveer zoals in de Atacama woestijn) geldt:
P(regen | I=regen en II=zon) = 0

Indien r=1 (nog net iets natter dan in de Noorse stad Bergen) geldt:
P(regen | I=regen en II=zon) = 1


@Joesje:
Is er al bekend welk antwoord de vraagsteller bedoeld heeft ??