Betrouwbaarheidsinterval opstellen bij dobbelen

[Swarles_Barkley]

Mijn vraag is eigenlijk de volgende: hoe hoog moet ik op 500 worpen met 2 6-zijdige dobbelstenen gemiddeld gooien opdat de kans dat ik zo hoog gegooid heb minder dan 1% bedraagt? Ik zal dit hieronder wat verder uitleggen:

Ik zou graag een betrouwbaarheidsinterval opstellen van 99% voor 500 keer te dobbelen met 2 6-zijdige dobbelstenen.

De kansverdeling van het dobbelen is perfect normaal verdeeld rond de 7: er is een kans van 6/36 dat 7 gegooid wordt, 5/36 dat 6 of 8 gegooid worden, etc.

Het gemiddelde is 7 en de standaardafwijking heb ik berekend op 2.415 (ik ben vrij zeker dat dit correct is). De n is hier dus 500.

Het betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde ziet er als volg uit:

[X - Za/2 * (s/n^0.5); X + Za/2 * (s/n^0.5)]

Er moet dus overgestapt worden op de standaardnormale verdeling. Z = (X-µ)/(s/n^0.5)

Mijn vraag is: wat is het verschil tussen de X en de µ? (De X is met een streep erboven, of dus het gemiddelde). Als ik de X bereken door een Z te kiezen (Z0.01 = 2.33), dan kan ik wel een betrouwbaarheidsinterval berekenen, maar dan ligt dat niet rond 7, wat natuurlijk absoluut niet kan kloppen. Als ik voor X 7 kies, dan is Z=0, wat ook niet erg logisch is.

Kan iemand me hierbij helpen? Als ik iets niet duidelijk heb uitgelegd, vraag er dan gerust naar.

[arno]

Zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Steekproef ... gemiddelde

[Swarles_Barkley]

Bedankt voor je reactie.

Als ik het goed begrijp: als ik 500 keer werp en het gemiddelde van die worpen is 7.15, dan is µ=7 en X=7.15?

Hoe bereken ik dan een theoretisch interval waar ik 99% kans zeker in zit na 500 worpen, zonder enig gebruik van steekproefgegevens? Ga er van uit dat de 2 dobbelstenen volstrekt eerlijk zijn!

[Swarles_Barkley]

Is het misschien toch gewoon X+/- Za/2 * (s/n^0.5) met X=7?

Als ik dan een algemeen betrouwbaarheidsinterval van 99% wil opstellen voor 500 worpen met 2 6-zijdige dobbelstenen zou dat er als volgt uitzien:

7 +/- 2.58 * (2.415/500^0.5) =

[6.72; 7.28]

Of nog: als ik 500 keer zou gooien met 2 6-zijdige dobbestenen, bedraagt de kans 99% dat het gemiddelde van al die worpen zich in dat interval bevindt. Correct?

[David]

Hallo Swarles_Barkley,

Kan je hier wel een normale verdeling gebruiken? De variabelen bij de dobbelsteen zijn stochastische variabelen. Als je naar de som kijkt van 500 keer met 2 dobbelstenen gooien is dat hetzelfde als 1x met 1000 dobbelstenen gooien. Ik heb het daar wel eens over gehad op dit forum. Zie hier. Kan je daar iets mee doen?

[arno]

@daco: Bij een continue kansverdeling zoals de normale verdeling heb je ook te maken met stochatische variabelen. Wat jij bedoelt is dat de stochastische variabele bij het werpen met een dobbelsteen geen continue, maar een discrete stochastische variabele is.

[David]

Ja, dat bedoelde ik, dank je.
Korte uitleg hoe ik het begrijp.
Een stochastische variabele is een variabele die alle waarden uit bijv. een steekproef kan zijn. Bijv. lengte van mensen. De variabele heet stochastisch omdat je van te voren niet weet wat de waarde is van de variabele. Iemand kan bijv 1.70 meter zijn, maar zonder meting is daar geen zekerheid over te geven. Het onderscheid tussen discreet en continu is dat discrete stochastische variabelen een eindig aantal waarden heeft. Bijv. de dobbelsteen. Een keer gooien met 1 dobbelsteen heeft 6, dus eindig aantal uitkomsten. Een kansverdeling is continu als er oneindig veel waarden zijn voor de variabele. Bijv. de lengte. Iemand kan bijv. 1.70m maar ook 1.80m zijn. Daartussen zijn er oneindig veel waarden. Daarom een continue stochastische variabele.

[Swarles_Barkley]

Ik weet inderdaad niet of ik hier een normale verdeling kan gebruiken. De kansen zijn zeker normaal verdeeld, maar het is inderdaad een discreet spectrum. Weet niemand hier raad?

Anyway, ik heb het eens gesimuleerd in excel: 200 keer 500 keer geworpen. In het totaal dus 100 000 worpen met 2 6-zijdige dobbelstenen. Uiteindelijk had ik dan 200 gemiddeldes (telkens gemiddeldes van 500 worpen). Hiervan wou ik de 2 extreme waarden (hoog en laag) weglaten om een betrouwbaarheidsinterval van 99% empirisch op te stellen.

Hier zijn de resultaten:

Gemiddelde: 6,9953 (dit geeft me wat vertrouwen dat ik geen fouten heb gemaakt in excel)
Extreme waarden: 7,39; 6,74
2de extreme waarden: 7,26; 6,76

In principe zou ik de 99% intervallen dus als volgt kunnen opstellen:

]6,74;7,39[
[6,76;7,26]

De 7,39 lijkt me echt wel een enorme uitzondering, het 2de interval ziet er realistischer uit. Als ik dat dan gemiddeld rond de 7 verdeel kom ik uiteindelijk hier op:

[6,75;7,25]

Wat overigens niet ver verwijderd is van de voorgaande theoretische schatting. Toch vraag ik me af of iemand op dit vraagstuk een sluitend antwoord kan geven!

[David]

Heb je gekeken naar het topic waar ik je naar verwezen heb? Het is voor 1000 dobbelstenen misschien veel rekenwerk, maar het is wel mogelijk zo. als je 1000 keer gooit heb je 6^1000 uitkomsten. omdat je een betrouwbaarheidsinterval (BI) van 99% maakt, ligt dus 0.5% links en 0.5% rechts van je BI. 0.5% van 6^1000=6^1000*0.005. Dat is geen rond getal. Als je eenmaal dat getal gevonden hebt, ergens tussen 1000 en 3500, deel je dat getal door 500, en je hebt de linkergrens van je BI van 99%. Voor de rechter BI, 14-linkergrens.

Kom je zo verder?

[Swarles_Barkley]

Daco, bedankt voor je antwoorden en interesse in dit vraagstuk! Zo kom ik ongetwijfeld verder, echter zou ik graag het interval op een theoretisch perfecte manier kunnen opstellen, zonder aan simulatie te doen. (Zodat ik ook makkelijk intervallen met andere betrouwbaarheden en andere hoeveelheden worpen kan opstellen)

Ik heb nog iets interessants gevonden:

Excel heeft de functie "betrouwbaarheid" om een betrouwbaarheidsinterval op te stellen. Als ik daar n=500, s=2,415 en a=0,01 opgeef, kom ik inderdaad terecht op het voorgaande interval [6,72; 7,28].

Tot dusver niets nieuws, interessanter is het volgende dat ik geprobeerd heb:

Een gevolg van de normale verdeling is dat je op een bepaalde poging een kans van 68,2% hebt om binnen 1 standaardafwijking van het gemiddelde te zitten. Ik heb in die excel functie dan a ingevuld als 1-0.682= 0.318 en gekeken wat ik als betrouwbaarheidsinterval opkreeg (idealiter: de standaardafwijking van 2,415).

Het resultaat zat er inderdaad enorm dicht op. Ondertussen heb ik het exacte percentage opgezocht (dat bedraagt 68.2689492%). A heb ik dan ingevuld als 31.7310508% en het resultaat was exact de standaarddeviatie van het dobbelen.

Of nog, via excel is dus bewezen dat je inderdaad de normale verdeling mag gebruiken voor het opstellen van een betrouwbaarheidsinterval bij het dobbelen van 2 6-zijdige dobbelstenen

Ter conclusie, het BI van 99% voor 500 worpen is wel degelijk

[6,72;7,28]

[David]

Ok, prettig om te weten. Met de methode die ik je heb aangereikt had je met veel rekenwerk hetzelfde gevonden. Dat dit sneller met excel kan is dan een uitkomst. Was dit met 1000 dobbelstenen geweest, was het BI [6.72*500;7.28*500]=[3360,3640]. Dan zijn er dus 6^1000*0.005 (afgerond boven op hele waarde) naar manieren om tussen 1000 en 3360 te gooien en 6^1000*0.005 (afgerond naar beneden op hele waarde) manieren om tussen 3640 en 6000 te gooien. Bedankt voor je informatie.