Afstand tussen willekeurig gekozen getallen

[Frats]

Hoi,

Ik loop hier tegen een klein kansrekening probleem aan waar ik niet helemaal uit kom en ik zou graag gebruik maken van jullie inzicht in hoe ik dit oplos (vooral het hoe, want ik wil het niet iedere keer hoeven vragen )

Dus, zou iemand uit kunnen leggen hoe je bepaald hoe ver het grootste en kleinste getal gemiddeld uit elkaar liggen als je X getallen tussen A en B willekeurig selecteerd?

(ie; ik kies 5 getallen tussen 1 en 10, hoe groot is gemiddeld genomen het verschil tussen de grootste en de kleinste?)

Heel erg bedankt alvast!

[David]

Hallo Frats,

Ik heb een primitief begin gemaakt om dergelijke vraag op te lossen.
Vergelijk het met dobbelstenen, met in mijn volgende voorbeelden telkens 3 dobbelstenen respectievelijk 1, 2, 3, en 4 zijden. Ik heb gebruik gemaakt van de verwachtingswaarde, en combinaties. a,a,a kan op 1 manier worden geordend, a,a,b kan op 3 manieren worden geordend en a,b,c kan op 6 manieren worden geordend. X=verschil tussen grootste en kleinste getal

Als je 3 dobbelstenen gooit alleen met zijde 1 is de kans op 0 verschil 1. Je gooit 1,1,1. Verwachte verschil (verwachtingswaarde) x*p(X=x), x=0. p(X=0)=1; je krijgt altijd een verschil van 0.

Als je 3 dobbelstenen gooit met zijde 1 en 2, Gooi je ofwel 1,1,1; ofwel 1,1,2; 1,2,2; 2,2,2. Met combinaties
1,1,2 en 1,2,2 kunnen beide op 3 manieren geordend; vergelijk met a,a,b. 1,1,1 op 2 manieren.
p(X=0)=p(1,1,1 of 2,2,2) = kan je verder zelf de totale verwachtingswaarde vinden?

Ik heb zelf zo de verwachtingswaarden van 3 dobbelstenen met respectievelijk 1,2,3 en 4 zijden gevonden.

Hier heb je een korte opzet om dit te doen met gehele getallen. Misschien vind ik een snellere methode.
Mocht je niet alleen gehele getallen willen bekijken, maar letterlijk elk getal tussen bijv. 1 en 4. Kijk dan bijv. naar de de opp tussen 1 en 4, (breedte is een, lengte is 4-1=3) De kans dat je andere cijfers tussen de grootste en de kleinste zitten. Let dan op dat een maximaal verschil van 2 op oneindig veel manieren kan worden gevonden. [1,3]...[2,4] voldoen daar allemaal aan. Hoe kleiner het maximale verschil, hoe kleiner de kans dat alle getallen daarin liggen..

Kan je hier iets mee?

[Frats]

Bedankt voor de hulp! Ik heb jouw opzet gebruikt en ben eens stevig gaan puzzelen. Inmiddels ben ik er achter dat je het gemiddelde voor 2 keuzes tussen 1 en n kunt bepalen met deze formule:




Ik ga nu nog even verder puzzelen.. ik denk dat ik ook nog wel kan achterhalen hoe dit veranderd als je meerdere getallen kiest; ik ben iig al een heel eind

EDIT:

Ik zal het ook nog even uitleggen

Je hebt altijd n manieren om op een verschil van 0 uit te komen (das twee dezelfde getallen, je kunt elk getal 2x hebben, maar das ook de enige manier)
Vervolgens heb je een aantal paren die uitkomen op een verschil van 1... (1-2, 2-3, 3-4) bijvoorbeeld bij getallen tussen 1 en 4. Er zijn altijd n-1 paren (want je hebt 2 getallen nodig) en je kunt elke combinatie op 2 manieren maken.
Op dezelfde manier heb je een aantal paren die uitkomen op een verschil van 2... (1-3, 2-4) in het geval van de getallen tussen 1 en 4. Er zijn er hier altijd n-2 van (want je hebt 3 getallen nodig per keer; er moet er nog eentje tussen liggen) en wederom kun je ze allemaal op 2 manieren maken.

Dit kun je zo doortrekken tot je uiteindelijk uitkomt op de combinaties die n-1 uit elkaar liggen; das je maximum (1 en 4) en die kun je op twee manieren maken.

Nu nog uitzoeken hoe de verhoudingen veranderen als je na de trekking er nog een bij kiest; daar zit ook een formule in namelijk. En die ga ik nu zoeken!

[Frats]

Nou ik heb em ook voor 3 keuzes... dan wordt ie zo:



Ben er nog niet helemaal achter waarom; ben er nu al zolang mee bezig... puzzel maandag wel verder

[David]

Je gaat dus uit van gehele getallen? Prima.

Ik ben er ook nog aan verder gegaan. Je kan het verder nog zo benaderen (schroom niet, ik gooi niet de hele eerste opzet overboord) Je kan kijken naar de 2 "extreme" dobbelstenen. Stel je voor, die zijn 1 en 4,
Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de derde dobbelsteen? die kan alleen tussen 1 en 4 liggen (1 en 4 zelf ook!) Zo kan je gestructureerder de aantallen mogelijkheden vinden. Ik zal me proberen nader te verklaren met het voorbeeld 3 eerlijke dobbelstenen, met elk 4 vlakken, 1, 2, 3 en 4.

2 dobbelstenen vormen
1 en 1. derde is 1. 1 mogelijkheid.
1 en 2. derde is 1 of 2. 2 mogelijkheden.
1 en 3. derde is 1, 2 of 3. 3 mogelijkheden.
1 en 4. derde is 1, 2, 3 of 4.
Er zijn 4 mogelijkheden om voor de "extremen" een verschil van 0 te vormen; 1,1; 2,2; 3,3; 4,4
3 om een verschil van 1 te vormen. 1,2; 2,3; 3,4
2 om een verschil van 2 te vormen 1,3; 2,4
1 manier voor een verschil van 3. 1,4

Elke dobbelsteen die bij de 2 extremen erbij komt heeft succes/totaal kans dat hij tussen die 2 extremen ligt. totaal is bij een dobbelsteen van 4 zijden, 4 en bij n zijden n. Het "succes" is het aantal mogelijkheden dat er is om tussen de extremen of de extremen te zijn (tussen 1 of 4 of 1 of 4 te zijn). Als je kijkt naar een verschil van 2, met bijv. 1 en 3. Heeft elke dobbelsteen 3/4 kans een van die waarden te zijn.

Let op dat je combinaties gebruikt!

Bedoel je trouwens:

(met haakjes?)

[op=op]

Neem een interval van lengte L. We kiezen daaruit aselect n getallen.
Noem 2 van deze getallen X en Y.

1. We bepalen eerst de kans dat X en Y de extreme punten zijn van die n punten.
De kans dat X een extreem punt is, is 2/n. De kans dat Y dan het andere extreme punt is, is dan 1/(n-1).
Dus de kans dat X en Y de extreme punten zijn is .

2. Laat X en Y weer 2 punten zijn van de n. We bepalen de kans dat alle punten liggen binnen segment [X,Y].
Voor elk punt (behalve X en Y) is die kans .
Dus voor n-2 punten is die kans .

1. en 2. vergelijken geeft

ofwel gemiddelde afstand tussen de extreme punten is

Wie immer ohne Gewähr.

[David]

...ofwel gemiddelde afstand tussen de extreme punten is ...

Ik probeer de formule te herschrijven o.a. met de volgende "regels". De cijfers tussen haakjes geven het nummer van de regel. Bij mijn herschrijving maak ik zichtbaar van welke regel dat komt.

Mijn herschrijving:



Nog eens:"n" is het aantal dobbelstenen, L is de lengte van het interval.


Met de hand vind ik voor 4 dobbelstenen met 4 zijden, 1, 2, 3. (L=2)
een gemiddeld verschil van de extremen van

Met de oorspronkelijke formule:

n=4, L=2

En met de herschreven:


Ik heb het wat uitgebreid uitgewerkt, zodat evt. fouten sneller kunnen worden gevonden. Heb ik de aangeboden formule als bedoeld gebruikt?

Wie immer ohne Gewähr.

'ch muss sagen, 'ch weiss's alles nicht genau.

[op=op]

Ik snap helaas het verband niet tussen het gooien van dobbelstenen en het onderhavige probleem.
Het is helemaal niet zo'n klein probleempje als door de oorspronkelijke topicstarter wordt gesuggereerd.
Je zou kunnen proberen het probleem op te lossen voor het eenvoudigste geval, namelijk dat je precies 2 punten aselect kiest in een interval van lengte L. Wat is de gemiddelde afstand tussen die punten?
Die vraag wordt ook niet opgelost door mijn formule.

[David]

Zou je het hele probleem willen benaderen met alle getallen tussen een interval als mogelijke uitkomsten? Ik ben daar kort op ingegaan, Frats (de TS) is dan doorgegaan met het probleem onder de aanname dat de uitkomsten, de intervalgrenzen, en dus de extremen geheel zijn. Ik heb dan voor een paar eenvoudige gevallen het voorbeeld met dobbelstenen gebruikt, daar kan je je makkelijker iets bij voorstellen. Misschien onterecht met de aanname dat het verschil tussen 2 opvolgende uitkomsen constant is (bij dobbelstenen 1) bijv. 5-4=1 en 4-3=1. Maar zo kon Frats wel oefenen.

Ik heb dan ook (nog) niet gekeken naar een oplossing voor het probleem met alle getallen.

[op=op]

Nog even een andere methode:
We kiezen weer aselect n punten () uit een interval van lengte L.
Beschouw de n punten als een punt in .

Voorbeeld:
Kies n=2.
Bij elk punt van hoort de functiewaarde .
We willen de gemiddelde functiewaarde weten.
Dat is de oppervlakte van het gebied onder de functiewaarde / inhoud kubus .
Dat levert een gemiddelde waarde 1/3.
Dus gemiddelde lengte is L/3.

Voor n>2 is het gebied onder de functie een polytoop. Dat wordt een gedoe met meervoudige integralen, dat is wijselijk aan de lezer overlaat.

[David]

op=op, Ik weet niet zeker wat je met je functiewaarde bedoelt.

Voorbeeld: Interval [1,9]. n=5, L=8.
Gevonden waarden: 2.1;\pi;e;4;8.
De afstand tussen de twee extremen is 8-2.1=5.9.

Stel je met die aanpak voor om van alle in dit geval 5 waarden het verschil uit te rekenen, of is als hierboven wat je voorstelt?

[op=op]

We nemen als lengte voor het interval 1. (De lengte doet er weinig toe; het is slechts een schalingsfactor).
Stel je kiest aselect 2 punten. Dan stel ik dat grafisch voor als een punt in het vierkant [0,1]x[0,1].
Elk punt in het vierkant heeft dezelfde kans gekozen te worden (uniforme kansdichtheid).
Voor elk punt (X,Y) in het vierkant zijn we geinteresseerd in de waarde voor |X-Y|.
Zo ontstaat een functie van [0,1]x[0,1] naar [0,1] door f: (X,Y) -> |X-Y|.
Als je die grafiek tekent zie je een kubus waarin 2 vlakken getekend zijn. De oppervlakte onder die vlakken vormen 1/3 van de totale inhoud van de kubus.
Gemiddelde |X-Y| is zodoende 1/3. (L/3 als intervallengte L gekozen wordt).

Voor n=3 krijgen we een functie f: (x,y,z) -> max(|x-y|,|x-z|,|y-z|}.
We integreren deze functie over het "grondvlak", de kubus.
Dus we moeten berekenen waarbij


Doorsnede op hoogte z met bijbehorende functiewaarden:

[David]

Wat fijn dat je zoveel informatie geeft! Voor mij gaan dubbele integralen wat ver; ik weet niet zo goed wat ik me erbij moet voorstellen. Ik kan de integralen met de afbeelding in verband brengen, denk ik toch, maar ermee rekenen gaat me niet lukken. Toch hoop ik dat Frats ermee geholpen is, ik denk dat hij(zij?) er een heel eind mee kan komen. Bedankt voor de hulp, op=op!

[Frats]

Bedankt voor jullie hulp allebei! Ik heb me een even een weekje met andere dingen bezig moeten houden maar ik ga er nu weer tegenaan en hoop met jullie hulp nog het eea aan antwoorden te vinden.