Normaal verdeelde stochastische variabele X

[Heatryn]

Hoi allemaal.

De stochastische variabele X is normaal verdeeld. Gegeven is P(X < 66) = 0,9772 en P(X < 60) = 0,1587.
Bepaal de verwachting mu en de standaardafwijking sigma van X.

Mijn eerste idee ging uit dat ik de standaard-normale verdeling best kan gebruiken. Maar ik weet niet goed hoe eraan te beginnen.

Alvast bedankt.

[SafeX]

Dat idee klopt! Laten we uitgaan van de standaardnormaal verdeelde Z~N(0,1). Wat is dan het verband tussen X~N(mu, sigma) en Z? Kan je dat vinden in je theorie of desnoods op internet?

[Heatryn]

Hey allemaal.

Net terug van vakantie, hierdoor dat ik een maandje niet heb geantwoord.

Ben hier terug mijn theorie aan het oprakelen.

Ik denk dat we dan kunnen zeggen dat: x = (x-mu)/sigma.

[SafeX]

Ik denk dat we dan kunnen zeggen dat: x = (x-mu)/sigma.

z = (x-mu)/sigma

De stochastische variabele X is normaal verdeeld. Gegeven is P(X < 66) = 0,9772 en P(X < 60) = 0,1587.
Bepaal de verwachting mu en de standaardafwijking sigma van X.

Welke z-waarde correspondeert met deze kans.
P(z<...)=0,9772, eveneens het andere gegeven ...
Hoe heb je dat bepaald?

[Heatryn]

Ik ben hier even de draad kwijt.

Wat bedoel jij met z in dit geval? Denk dat we andere symbolen gebruiken voor hetzelfde.

Die andere gegevens heb ik niet zelf bepaald, die waren gegeven in de opgave.

[SafeX]

X heeft de verdeling waarvan de mu en sigma bepaald moeten worden en z is standaard-normaal verdeeld en het verband tussen z en x heb je opgezocht?
Bovendien: hoe kan je x zowel links als rechts hebben staan? Dat zou nl betekenen dat je x in mu en sigma kan uitdrukken ...

[Heatryn]

Het verband tussen de stochastische variabele X, die normaal verdeeld is, en de stochastische variabele Z, die standaard-normaal verdeeld is, is



Dan kan ik schrijven:





Dan zou ik zeggen de integralen uitrekenen en dan ga je een vergelijking krijgen, die uit te werken valt naar sigma en mu?

Zie ik dit juist?

[meneer van Hoesel]

Hallo Heatryn,

ik pak het touwtje even op van SafeX...

ik ben bang dat je het jezelf iets te ingewikkeld gaat maken...

waar je naar toe moet werken is welke z-waarden bij elk van de twee kansen hoort --- en let wel - en mogelijk ten ovevloede - als we het over z-waarden hebben, hebben we het altijd over de 'terug gerekenden waarden voor een 'standaard-normaal verdeling' met µ=0 en σ=1. Die waarden kun je uitrekenen met een grafische rekenmachine of opzoeken in een tabellenboekje, waarbij je waarschijnlijk wat truukjes moet toepassen, want de tabellen geven meestal alléén de 'rechter overschrijdings kans' weer voor z>0

als je weet welke z-waarden het zijn wordt het daarna 'kinderspel'; je krijgt 2 vergelijingen met 2 onbekenden: en

hopelijk kom je daar wel uit, wij horen graag van je

[Heatryn]

Ik snap de redenering volledig.

Het probleem is alleen dat ik niet beschik over tabellen met z waarden en dat ik ook voor deze opgave geen gebruik mag maken van een rekenmachine of computerpakket.

Via de bovengenoemde integraal kan ik deze vergelijkingen ook bekomen, of is dit niet mogelijk?

Alvast bedankt voor de uitleg.

[meneer van Hoesel]

Het probleem is alleen dat ik niet beschik over tabellen met z waarden en dat ik ook voor deze opgave geen gebruik mag maken van een rekenmachine of computerpakket.

Ohhh.... bah!

maar ja, jouw redenering is ook hier weer correct

[meneer van Hoesel]

ter controle geef ik je maar vast de z-waarden die bij deze vraag horen, dan kun je zelf wel controleren of je integraalberekening goed is:

—0,999815 en +2,770327 *zie onderstaande opmerkingen

succes

[Heatryn]

Bedankt alvast.

Als ik jouw z-waarden gebruik, kom ik uit op een mu van 61,59 en een sigma van 1,59

Kan dit kloppen?

[meneer van Hoesel]

oops...

klein typfoutje - blijkt maar weer eens hoe ontzettend belangrijk de uitwerkingen zijn op examens....

ik had een kans van .9972 ipv .9772

de juiste z-waarden zijn

—0.999815 en 1.999077, of te wel (afgerond) —1-sigma en +2-sigma

en inderdaad die twee intervallen komen overeen met de getallen in de opgave

de 1- en 2-sigma intervallen spelen in de statistiek een belangrijke rol; je zou ze uit je hoofd moeten weten en herkennen (ouch). 1-sigma bevat 68% (± ⅔), 2-sigma bevat 95% en 3-sigma bevat 99%

Hieronde de kansen dat je binnen het interval ligt, er buiten en in één van de staarten
P(µ±1σ ) = 0.6826 = 1 — 0.3174 = 1 — 2 × 0.1587 (0.1587 = 1 — 0.8413)
P(µ±2σ ) = 0.9544 = 1 — 0.0456 = 1 — 2 × 0.0228 (0.0228 = 1 — 0.9772)
P(µ±3σ ) = 0.9974 = 1 — 0.0026 = 1 — 2 × 0.0013 (0.0013 = 1 — 0.9987)

Als je de getallen had herkent (en ik ook) dan had je het nog veel sneller uit kunnen rekenen. Kom je ooit nog eens een vraag tegen als dit met P=0.8413, dan weet je nu dus dat het gaat om de kans dat het NIET in één van de staarten zit van het 1-sigma interval

[David]

Zie eventueel een tabel:
http://www.statsoft.com/textbook/distribution-tables/#z

Let wel: Deze tabel geeft oppervlakten van z-waarden aan de rechterkant van z=0. VB: De oppervlakte tussen z=0 en z=1 is ongeveer 0.3413. De oppervlakte links van z=1 is dan ongeveer 0.3413+0.5000=0.8413.