Stochastische variabelen combineren

[Heatryn]

Hoi allemaal.

De vraag:

De vertraging tijdens een treinreis tussen Utrecht en Leiden wordt gemodelleerd door een stochast X met verwachting E(X) = 4 min en variantie var(X) = 9 min. Volgens de reisplanner duurt de reis van Utrecht naar Leiden 45 min.

a) De stochast Y modelleert de reistijd van een enkele reis Utrecht-Leiden. Bepaal E(Y) en var(Y).

Ik had gedacht om voor E(Y) = 45 min te nemen. Moeten we hier de stochast X bij betrekken?

[meneer van Hoesel]

De reisplanner gaat er vanuit dat de reistijden 'volgens het spoorboekje' kloppen, dus de tijd tussen Leiden en Utrecht is dan inderdaad 45min...

Helaas is de praktijk anders, helaas treed er vertraging op en als je geluk hebt, komt de trein zelfs te vroeg. Met hoeveel vertraging zou jouw stochast Y rekening moeten houden, welke verdeling komt er dan dus uiteindelijk uit ?

[Heatryn]

Ik zou zeggen dat het de normale verdeling is, aangezien de kans op 4 min vertraging het meest waarschijnlijk is. Maar hoe moet ik die stochast Y gaan berekenen door rekening te houden met de stochast X?

[meneer van Hoesel]

probeer het eens in gewoon Nederlands; Stel je wil een afspraak maken met je vriendin en je wil haar niet te lang laten wachten. Jouw trein vertrekt uit DenHaag om 14:15 Hoelaat zou je dan willen dat ze op het peron staat te wachten? Ik zou zeggen: "De trein hoort volgens het spoorboekje om drie uur aan te komen, maar houd rekening mee dat hij gemiddeld een paar minuten vertraging heeft"

Wat wordt Y dan ? wat is de gemiddelde aankomst tijd dan? en de spreiding veranderd die?

[Heatryn]

Dan zou ik zeggen dat de gemiddelde aankomsttijd 45 + 4 = 49 min is. De variantie blijft dan gelijk aan 9 min voor stochast Y?

[meneer van Hoesel]

nog even een belangrijke opmerking, als die niet ook al in je boek wordt behandeld...

σ = √Variantie

rekenen met meerdere normaal verdeelde stochasten doe je met Verwachtingswaarde (E, of ook wel µ) en met je Variantie (en niet met σ, dus niet standaardafwijking) en het merkwaardige is dat de Variantie van het verschil van twee kansvariabelen gelijk is aan de som van de Varianties

[Heatryn]

Bedankt Meneer Van Hoesel voor de duidelijke uitleg.

Nu hoort er bij deze vraag nog een opgave.

B. Zij M de gemiddelde reistijd van een enkele reis tussen Utrecht en Leiden (of terug) wanneer 40 werkweken dagelijks heen en weer wordt gereisd. Gebruik de normale benadering om de kans te bepalen dat de gemiddelde reistijd meer dan 50 min is. (Gebruik het computeralgebra pakket om deze kans daadwerkelijk uit te rekenen).

Ik heb dit als volgt opgelost:

Ik weet dat er in 40 werkweken 400 ritten zijn.
Ik moet dus zoeken naar:

Ik weet dat M als verwachtingswaarde 49 min heeft want dit verandert niet als we veel ritten uitvoeren en als standaardafwijking heeft dit aangezien de variantie 9 min is.

Als we dit dan in een formule gieten, krijgen we:



Als ik dit ingeef in Maxima krijg ik als uitkomst: 1.308392283405624*10^-11

Intuitief zou ik zeggen dat dit kan, aangezien we heel veel ritten uitvoeren, dus de variantie wordt zeer kleinm aangezien dan de gemiddelde van een rit 49 min is, wordt door het veelvuldig uitvoeren van deze rit de kans op meer dan het gemiddelde voor het totaal aantal ritten zeer klein.

Klopt dit of maak ik ergens een fout?

[meneer van Hoesel]

Hallo,

De redenatie is helemaal correct - ook goed dat je inziet dat het gemiddelde niet veranderd en de Variantie 1/400 wordt ...

en tja, gevoelsmatig moet het ook wel zo'n beetje kloppen, de 2- en 3-sigma intervallen liggen op 68,27% en 95,45% ---- hier hebben we te maken met ≈ 6-sigma en zo ver lopen de tabelletjes niet eens:
1-sigma 68.26895%
2-sigma 95.44997%
3-sigma 99.73002%
4-sigma 99.99366%
5-sigma 99.99994%

NB. dit is wel µ ± n × σ (links en rechts) jij hebt nog eens te maken met alléén de rechteroverschrijding (M > 50min) --- tja, die kans is dus ---uhmm - nul! (volgens mijn TI-nspire