Oefeningen discrete en continue stochastische variabelen

[P.B.]

Hallo,

Ik heb 4 oefeningen waarmee ik niet aan het antwoord geraak. De antwoorden die ik zou moeten bekomen staan onder de opgave in het vetjes. De eerste 3 handelen over discrete stochastische variabelen, de laatste over continue stochastische variabelen. Kan iemand vertellen hoe je aan de uitkomsten geraakt?

1: Het aantal branden per week in een bepaalde stad is een toevalsveranderlijke die Poisson-verdeeld is met een gemiddelde van 1 brand om de 2 weken. De brandweer gaat in staking. Men besluit de duur van de stakingsperiode zo te kiezen dat de kans dat er geen enkele brand uitbreekt tijdens de stakingsperiode minstens 90% bedraagt. Hoeveel dagen mag de staking hoogstens duren?

1,48 dagen

2: Stel dat er gemiddeld één zetfout per 10 bladzijden voorkomt in een boek. Bereken de kans dat er op één blad twee fouten staan. Bereken de kans dat er in één hoofdstuk van 20 bladzijden geen enkele fout staat. Bereken de kans dat er op twee willekeurige bladzijden van dit hoofdstuk precies één fout voorkomt.

0,004524;0,1353; 0,2822

3: Een statistische variabele x(i) met i:1...5 heeft als kansfunctie a*i zodat a*i+1=2*a*i. Bereken de verwachtingswaarde en standaardafwijking van x. Men definieert een variabele y met twee mogelijke waarden: y(1) = 0 als x(i) even is en y(2) = 1 als x(i) oneven is. Stel de kansfunctie op voor y. Bereken de verwachtingswaarde en standaardafwijking voor y. Men doet achtereenvolgens 5 waarnemingen van y. Bereken de waarschijnlijkheid dat het product van die waarnemingen 0 is.

4,16 en 1,080; 10/31 en 21/31; 21/31 en sqrt(0.2185); 0.85734

4: Appelen worden verpakt in kisten van 400 stuks. Als uit ondervinding blijkt dat 30% slechte appelen zijn, bereken dan de kans dat een kist minstens 130 slechte appelen bevat. En als uit ondervinding blijkt dat 0,5% slechte appelen zijn, bereken dan op exacte en op benaderende wijze de kans dat een kist meer dan twee slechte appelen bevat.

0,149; 0,323

[arie]

zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Poissonverdeling

Wat tips:

[1] lambda=(1/14), los t op uit:


[2a] 2 zetfouten op 1 bladzijde = P(X=2), gebruik de standaardformule (wat is lambda?, wat is k?)
[2b] (kans op nul fout op een pagina)^20
[2c] (20nCr2) * (kans op 1 fout op een pagina)^2 * (1 - kans op 1 fout op een pagina)^18

[3]
stel x(1) = a1, dan is x(2)=2*a1, wat zijn x(3) t/m x(5) uitgedrukt in a1?
[a] volgt uit het lijstje dat je nu hebt
gebruik: y=0: x(2) + x(4), y=1: x(1)+x(3)+x(5)
[c] product=0 als 1 van de 5=0, de kans hierop = 1 - kans(alles 1) = 1 - (kans op 1)^5

[4]
welke benaderingsformule gebruik je voor deze verdeling?
indien normale verdeling: hoe bereken je het gemiddelde en de standaard deviatie?
wat is dan het resultaat in beide gevallen?
[4b] exact:
1 - kans(maximaal 2),
kans(maximaal 2)= kans(0)+kans(1)+kans(2)
kans(0)=0.995^400
kans(1)=(400nCr1) * 0.995^399 * 0.005
kans(2)=...

[P.B.]

Bedankt! Ben er aan uitgeraakt!

Ook aan de vierde... Binomiaal en standaard benaderen... Standaard kom ik iets van 0.36 uit... Toch wel +- 0.04 verschil met exact binomiaal... Mogelijk? Continuïteitscorrectie uitgevoerd!

normale met np als mu en sqrt npq als sigma...

[arie]

Klopt, als ik alles doorreken krijg ik:

p=0.005, n=400:
exact:
0.323323017
normale benadering:
mu=2, sigma=1.410673598, low=2.5, hi=infinity:
0,361504

p=0.3, n=400:
exact:
0.1500770699
normale benadering:
mu=120, sigma=9.165151, low=129.5, hi=infinity:
0.149976

Dit lijkt ook overeen te komen met de vuistregels zoals gegeven onder de paragraaf "Benadering" op de pagina http://nl.wikipedia.org/wiki/Binomiale_verdeling:
"de Bin(n,p)-verdeling kan voor n > 25 goed benaderd worden door een geschikte normale verdeling, mits de succeskans p niet te klein of te groot is. Als vuistregel geldt: np > 5 en n(1-p) > 5"

In het bovenste geval is np=2, dus verwachten we de benadering niet al te goed,
in het onderste geval is np=120 en n(1-p)=280, en is aan de vuistregel voor een goede benadering voldaan, hetgeen ook blijkt uit de resultaten.

[P.B.]

nogmaals dank!