Bridge kansen

[matrix]

hey,

ik zit vast met een vraagstuk ivm de kans in een spelletje bridge ( is een kaartspel )

opgave:

Tijdens een partij bridge kent een speler zijn eigen kaarten en die van een medespeler.
Het blijkt dat ze samen 9 schoppen hebben. hoe kunnen de overblijvende schoppen verdeeld zijn over de andere 2 spelers en met welke kansen?

oplossing:

de verdeling van de overblijvende schoppen heb ik gevonden:

4 en 0
3 en 1
2 en 2
1 en 3
0 en 4

dan heb ik het volgende geprobeerd:
jij en je medespeler hebben 26 kaarten en dus heeft ook de tegenpartij 26 kaarten.

voor 4 en 0:

de kans op 4 schoppen is volgens mij: 4/26
de kans op 0 schoppen is volgens mij: 22/26

dan heb ik die 2 vermenigvuldigd:

4/26 * 22/26 = 22/169

maar als ik naar de oplossing kijk in mijn boek zou dit, 1/16 moeten zijn.

kan iemand mij beetje verder op weg helpen?

[arie]

Het gaat niet om de kans om een schoppen te trekken uit de 26 kaarten, maar je weet hier al zeker dat de tegenspelers samen precies 4 schoppen kaarten hebben.

Stel jouw team had 12 schoppen kaarten, de tegenspelers 1 (noem de tegenspelers C en D), hoe groot is dan de kans dat C de schoppen kaart heeft, en hoe groot is de kans dat D de schoppen kaart heeft?

[matrix]

maakt me nog niet veel wijzer.

veronderstel een urne met 26 ballen waarvan 4 blauwe (schoppen) en 22 rode (de andere kaarten) en ik neem er 13 ballen uit wat is dan de kans dat 4 van die 13 blauwe ballen zijn?

het probleem is dat dit bijna niet uit te rekenen valt als ik de combinatie neem van 13 uit 26 dan is dit 10400600 mogelijkheden, nu zou ik van iedere mogelijkheid waar 4 schoppen in voorkomen de kans willen van uitrekenen en dit dan optellen, maar dit zou DAGEN duren.

is er geen andere oplossing?

[arie]

Bekijk ook via deze weg eerst een eenvoudig geval:

Veronderstel een urne met 26 ballen waarvan 1 blauwe (schoppen) en 25 rode (de andere kaarten) en ik neem er 13 ballen uit wat is dan de kans dat ik de blauwe bal trekt?

Bedenk dat er hier slechts 2 mogelijkheden zijn voor de blauwe bal:
- in de urn
- uit de urn
en dat de kansen op deze 2 gebeurtenissen even groot zijn (waarom?).

[matrix]

de mogelijkheden als ik 13 keer een bal mag nemen zonder terugleggen is toch als volgt:

1) Blauw - Blauw - Blauw - Blauw- rood - rood - rood - rood - rood - rood - rood - rood - rood
2) Blauw - Blauw - Blauw - rood - Blauw - rood - rood - rood - rood - rood - rood - rood - rood
3) Blauw - Blauw - rood - Blauw - Blauw - rood - rood - rood - rood - rood - rood - rood - rood
ETC...

dus de kans voor 4 blauwe ballen is dan:

1) 4/26 * 3/25 * 2/24 * 1/23 * 22/22 * 21/21 * 20/20 * 19/19 * 18/18 * 17/17 * 16/16 * 15/15 * 14/14
+
2) 4/26 * 3/25 * 2/24 * 22/23 * 1/22 * 21/21 * 20/20 * 19/19 * 18/18 * 17/17 * 16/16 * 15/15 * 14/14
+
3) 4/26 * 3/25 * 22/24 * 2/23 * 1/22 * 21/21 * 20/20 * 19/19 * 18/18 * 17/17 * 16/16 * 15/15 * 14/14
+
ETC...
== 0,00006689

het aantal combinaties is 10400600 (combinatie van 13 uit 26)

0,00006689 * 10400600 = 695,6923
dit kan dus niet de kans zijn he want kans ligt alltijd tussen 0 en 1 en ik heb hier 695,6923

ik geraak er echt niet wijs meer uit

[arie]

Je kijkt hier naar het aantal mogelijke volgorden dat de ballen getrokken kunnen worden, maar is dat hier van belang?
Probeer s.v.p. ook mijn eerdere vraag eens te beantwoorden.

[matrix]

je moet dit toch de mogelijkheden kennen om de kans te kunnen uitrekenen

AANTAL GUNSTIGE GEVALLEN
------------------------------------
TOTAAL AANTAL GEVALLEN

of je nu 1 schoppen hebt of 4 schoppen, dit maakt toch niet uit. Alleen wat minder combinaties

1) Blauw - rood - rood - rood - rood-rood - rood - rood - rood - rood - rood - rood - rood
2) rood - Blauw - rood - rood - rood-rood - rood - rood - rood - rood - rood - rood - rood
etc...
dus volgens de principes van voorwaardelijke kans wordt dit opnieuw:

1) 1/26 * 25/25 * 24/24 * 23/23 * 22/22 * 21/21 * 20/20 * 19/19 * 18/18 * 17/17 * 16/16 * 15/15 * 14/14
+
2) 25/26 * 1/25 * 24/24 * 23/23 * 22/22 * 21/21 * 20/20 * 19/19 * 18/18 * 17/17 * 16/16 * 15/15 * 14/14
+
etc ...

nu zijn er 13 mogelijke combinaties
dus 13 * 1/26 = 1/2
D = 1/2
C = 1/2

of hoe zou jij het dan doen?

[arie]

De vraag is niet eenduidig, vandaar de problemen.

[1] de oplossing van het boek:
Het boek kijkt alleen naar de mogelijkheden om de overblijvende schoppen te verdelen.
Als we de tegenstanders weer C en D noemen, en 4 schoppen kaarten bekijken (s1, s2, s3 en s4), dan kan elke kaart ofwel bij C, ofwel bij D zijn.
C en D hebben gelijke kansen, dus elke kaart heeft een kans van 1/2 bij C en 1/2 bij D te zijn.
Dit had je hierboven al gevonden.
In totaal zijn er dus 2^4 = 16 verschillende manieren om de schoppen te verdelen.

De aantallen per verdeling had je ook al gegeven, voor C resp D:
4 en 0
3 en 1
2 en 2
1 en 3
0 en 4

Als je dit uitschrijft voor alle mogelijke kaartcombinaties vind je:

4 en 0
C:s1,s2,s3,s4; D:geen schoppen

3 en 1
C:s1,s2,s3; D:s4
C:s1,s2,s4; D:s3
C:s1,s3,s4; D:s2
C:s2,s3,s4; D:s1

2 en 2
C:s1,s2; D:s3,s4
C:s1,s3; D:s2,s4
C:s1,s4; D:s2,s3
C:s2,s3; D:s1,s4
C:s2,s4; D:s1,s3
C:s3,s4; D:s1,s2

1 en 3
C:s1; D:s2,s3,s4
C:s2; D:s1,s3,s4
C:s3; D:s1,s2,s4
C:s4; D:s1,s2,s3

0 en 4
C:geen schoppen; D:s1,s2,s3,s4;

In feite kan je alle schoppen kaarten eerst aan D geven, en vervolgens C daaruit laten trekken.
Merk op dat dit een trekking is uit verschillende kaarten, zonder teruglegging en dat de volgorde niet van belang is (het gaat om het eindresultaat dat C uiteindelijk in zijn hand heeft).
Er is dan = 1 mogelijkheid dat C alle schoppen heeft, mogelijkheden dat C 3 schoppen heeft, etc.

Volgens het boek is het TOTAAL AANTAL GEVALLEN uit je formule dus 16, en zijn de gevraagde kansen resp. 1/16, 4/16=1/4, 6/16=3/8, 4/16=1/4 en 1/16.


[2]Jouw uitwerking:
Jij baseert de kans op een verdeling op de gehele hand, dus inclusief de getrokken andere kaarten.
In totaal zijn er = 10400600 mogelijke handen voor C, dit had je al gevonden (C trekt weer 13 kaarten uit de 26, de overgebleven kaarten gaan allemaal weer naar D).

Nu kan C opnieuw 4,3,2,1 of nul schoppen krijgen.
Kijk weer opnieuw naar alle gevallen:

C kan 4 uit 4 schoppen trekken en 9 uit 22 andere kaarten, dit zijn

mogelijke handen,

C kan 3 uit 4 schoppen trekken en 10 uit 22 andere kaarten, dit zijn

mogelijke handen,

etc:

C kan 2 uit 4 schoppen trekken en 11 uit 22 andere kaarten, dit zijn .... handen

C kan 1 uit 4 schoppen trekken en 12 uit 22 andere kaarten, dit zijn .... handen

C kan nul uit 4 schoppen trekken en 13 uit 22 andere kaarten, dit zijn .... handen

Het totaal aantal van al deze handen moet weer gelijk zijn aan = 10400600 (ga dat s.v.p. zelf even na), en dit is nu gelijk aan het TOTAAL AANTAL GEVALLEN uit je formule.

In dit geval wordt de kans dat C een hand heeft met 4 schoppen dus 497420/10400600 = 11/230,
C een hand heeft met 3 schoppen 2586584/10400600 = 143/575,
etc.


Op zich vind ik jouw antwoord logischer, het zou beter zijn geweest als het boek niet naar de kansen, maar naar het aantal mogelijkheden had gevraagd.