kansbereking yathzee, help me,

[jassbrass]

deze vraag is aanleiding voor vele discussie''s met moeders. Ons wiskundig inzicht van beide is vergelijkbaar met dat van een koe.

yathzee, 5 dobbelstenen, 3x gooien per beurt
mijn vraag gaat over het gooien van een straat, 1.2.3.4.5. of 2.3.4.5.6

je wilt een straat gooien en pakt in de eerste worp een 2
je mag dus nog 2x gooien en hebt in het begin van de 2e worp 4 stenen over.
straatkansen dus of 1 tm 5 of 2 tm 6

je wilt een straat gooien en pakt in de eerste worp een 2 en een 6
je mag dus nog 2x gooien en hebt in het begin van de 2e worp 3 stenen over

welke van de 2 bovenstaande opties heeft de meeste kans om een straat te gooien?
deze domme niet wiskundige is ervan overtuigd dat het optie 2 is.
please help me out.

[David]

Hallo Jassbrass,

Ik ga een poging wagen:

Mogelijkheid 1: je kiest alleen de 2.
Dan wordt de grote staat: 1, 2, 3, 4, 5 of 2, 3, 4, 5, 6.
Voor de eerste missen we de 1, 3, 4, en de 5.
Dus de 4 dobbelstenen worden 1 en 3 en 4 en 5.
De kans dat een dobbelsteen 1 wordt is 1/6. Een dobbelsteen heeft 6 zijden en 1 is een zijde van de zes.
Alle kansen worden vermenigvuldigd, dus we krijgen (1/6)*(1/6)*(1/6)*(1/6)=(1/6)^4.
Op dit moment gaan we ervan uit dat de eerste dobbelsteen een 1 wordt, de 2e een 3, de 3e een 4 en de 4e een 5. Maar het kan ook zijn dat de 2e een 5 wordt en de 3e een 2 en dat...
In totaal zijn er om de dobbelstenen op volgorde te leggen 4*3*2*1=24 mogelijkheden.
De kans op een 1, 3, 4 en een 5 wordt dus vermenigvuldigd met 24. Geeft:
(1/6)^4*24.

Maar! we mogen ook krijgen: 3, 4, 5, 6. Die kans is precies hetzelfde, (1/6)^4*24.
We tellen de kansen op, ze kunnen beiden. Dus we krijgen:
(1/6)^4*24 + (1/6)^4*24=(1/6)^4*48

Dus de kans op grote straat met yathzee in beurt 2 als je een 2 pakt is

Nu de andere situatie:
We hebben 3 dobbelstenen.
We willen een 3 en een 4 en een 5. (we hebben 2 en 6)
De kans op een 3 is 1/6 (met 1 dobbelsteen!), zo ook de kans op een 4 en een 5.
We vermenigvuldigen de kansen:
(1/6)*(1/6)*(1/6)=(1/6)^3

Dan gaan we er vanuit dat de 1e dobbelsteen een 3 wordt, de 2e een 4 en de derde een 5.
Maar de 1e kan ook een 4 worden, etc. (Net als we zagen bij de andere kans)
De 3 dobbelstenen kunnen op 3*2*1=6 mogelijkheden worden gesorteerd, dus vermenigvuldigen we de kans met 6.
Geeft:


is groter dan


De kans op grote straat in beurt twee met een 2 gepakt is 1/27

De kans op grote straat in beurt twee met een 2 en een 6 gepakt is 1/36
is groter dan


In decimalen:

(de streep erboven zegt dat die decimalen telkens herhalen)

Dus kan je beter alleen de 2 pakken.

[meneer van Hoesel]

Helaas David, het vervelende is dat je na de eerste worp 2 worpen hebt...

het gevolg daarvan is dat je bij je tweede worp alles dat 'niet in je straatje past' weer op kunt pakken en nogmaals mag gooien. Je mag dus ook in je tweede worp allemaal ⚁⚁⚁⚁ gooien of ⚀⚁⚂⚂, er zijn dus nog heel veel extra mogelijkheden om toch nog tot een 'grote straat' te komen.

leuke opdracht voor een PO

[Sjoerd Job]

Ik heb het gesimuleerd op de computer, en uitgaande van alleen de 2 krijg ik dat de kans op een straat ongeveer 0.145 is.

Uitgaande van een 2 en een 6, is de kans ongeveer 0.116.

Dus ja, het eindresultaat van David's berekeningen klopt wel...

Het algoritme wat ik heb gebruikt voor het spelen van dit spel komt er op neer:
Heb ik de steen al weg gelegd, dan voeg ik 'm niet nog eens toe. (Ik wil niet tweemaal dezelfde steen in mijn stapel)
Heb ik een 6 in mijn stapel, dan leg ik er geen 1 bij.
Heb ik een 1 in mijn stapel, dan leg ik er geen 6 bij.
Al het andere leg ik in 1 keer bij mijn stapel.

Misschien zijn er andere keuzealgoritmes die de kansen veranderen.

[meneer van Hoesel]

Ik heb het gesimuleerd op de computer

Misschien zijn er andere keuzealgoritmes die de kansen veranderen.

Je algoritme lijkt juist, vanuitgaande dat we zoveel mogelijk win-kans willen hebben.


Ik ben erg benieuwd naar je manier van simuleren

[David]

Ik ben er in het begin intuïtief/naïef vanuit gegaan dat als het aantal beurten erna hetzelfde blijft, dat geen invloed zal hebben op de conclusie, alleen niet in de conclusie vermeld. Zijn er situaties in kansrekening waar je daar niet vanuit mag gaan?

[meneer van Hoesel]

Yatzee wordt helaas gezien als een algemeen begrip, waarbij je in 3-worpen een combinatie kunt maken van dobbelstenen...

Bovendien stond het in de tekst:

je mag dus nog 2x gooien en hebt ...

Maar normaal gesproken in de 'eenvoudige' kans-berekening kom je dit niet zo vaak tegen

[David]

Ja, zei ook, dat ongeacht of je nog een keer, 2 keer, ...keer, mocht gooien, dan verwachtte ik dat de conclusie hetzelfde blijft. Maar prettig dat we in de (eenvoudige) kansberekening dat niet vaak tegenkomen.

Toch een opzetje voor het uitrekenen van de kans:
Mogelijkheid 2. Je pakt de 2 en de 6. Dan heb je nog 3, 4 en 5 nodig.

Dan krijg je of:

in beurt twee, 0 van de 3 en in beurt drie, 3 nog (kans: (1/6)^3*3!) * (kans op geen 6 en geen 2 in beurt 2)

in beurt twee, 1 van de 3 en in beurt drie, 2 nog (kans: (1/6)^1* (3 nCr 1)*(1/6)^2*2!) * (kans op geen 6 en geen 2 en het cijfer dat erbij komt precies 1 keer in beurt 2)

in beurt twee, 2 van de 3 en in beurt drie, 1 nog (kans: (1/6)^2*(3 nCr 2)*(1/6)*1!) * (kans op geen 6 en geen 2 en de twee cijfers die erbij komen precies een keer)

in beurt twee, 3 van de 3 (geen beurt 3) (kans: (1/6)^3*3!)

Inderdaad, leuk voor een PO!

[Sjoerd Job]

Ik heb het gesimuleerd op de computer

Misschien zijn er andere keuzealgoritmes die de kansen veranderen.

Je algoritme lijkt juist, vanuitgaande dat we zoveel mogelijk win-kans willen hebben.


Ik ben erg benieuwd naar je manier van simuleren

Een simpel progje, genaamd `straat', met als invoer een getal k en een rijtje getallen [x1,...,xn], de dobbelstenen die opzij liggen.

Als k gelijk is aan 0, geeft het aan als [x1,...,xn] een grote straat is.
Als k groter is dan 0, berekend het 5-n nieuwe getallen [y1,...,y(5-n)], die hij dan via het `walk' algoritme toevoegt aan [x1,...,xn], met uitvoer [z1,...,zn'], en vervolgens wordt het progje straat aangeroepen op (k-1) en [z1,...,zn'].

Het walk algoritme (invoer [y1,...,y(5-n)], uitvoer [x1,...,xn]) produceert een lijst [z1,...,zn'] met [x1,...,xn] `sublist` [z1,...,zn'], en elk element van [y1,...,y(5-n)] zit ook in [z1,...,zn'], behalve eventueel 1 of 6 (als de andere al in [x1,...,xn] zit).

De routine avg met invoer een getal k en een `kansexperiment' voert het experiment k keer uit, en telt het aantal successen s, en geeft als uitvoer s/k. Oftewel: het geeft een benadering van de kans.

Toen heb ik
avg 100000 (straat 2 [2])
en
avg 100000 (straat 2 [2,6])
ingeklopt.

[jassbrass]

Beste mensen,

hartelijk dank voor jullie reactie. Kijkende naar jullie uitleg / berekeningen vind ik het niet gek dat ik er niet kom. Mag ik voorzichtig stellen dat je het beste alleen de 2 kan pakken. Wat ik dus al hoopte en dacht. Mijn zeer simpele kort door de bocht zijnde idee was, als je een 2 pakt heb ik dus 2 kansen op een straat, 1-5 of 2-6 en dat ook met een dobbelsteen meer, tov een 2 en een 6, je moet nu dus een 3,4,5 gooien in 2 beurten met een dobbelsteen minder.
mocht uit jullie berekeningen blijken dat optie 2 toch beter is, dan hoor ik dat graag, maar liever niet. Dan moet ik namelijk aan moeders gaan vertellen dat ze gelijk heeft. het erge is namelijk dat ze het altijd voor elkaar krijgt om die 3 4 5 te gooien. Sta je dan met de berekening waaruit blijkt dat haar keuze dom is.
Zoals Sjoerd Job al aangaf: Een simpel progje, genaamd `straat', met als invoer een getal k en een rijtje getallen [x1,...,xn], Ben ik nou zo dom of zijn jullie nou zo slim? dat is een retorische vraag dus. Zou het dan toch kloppen, of een wiskunde, of een talen knobbel?
Hartelijk dank voor jullie reactie.

[Sjoerd Job]

Beste mensen,

hartelijk dank voor jullie reactie. Kijkende naar jullie uitleg / berekeningen vind ik het niet gek dat ik er niet kom. Mag ik voorzichtig stellen dat je het beste alleen de 2 kan pakken. Wat ik dus al hoopte en dacht. Mijn zeer simpele kort door de bocht zijnde idee was, als je een 2 pakt heb ik dus 2 kansen op een straat, 1-5 of 2-6 en dat ook met een dobbelsteen meer, tov een 2 en een 6, je moet nu dus een 3,4,5 gooien in 2 beurten met een dobbelsteen minder.
mocht uit jullie berekeningen blijken dat optie 2 toch beter is, dan hoor ik dat graag, maar liever niet. Dan moet ik namelijk aan moeders gaan vertellen dat ze gelijk heeft. het erge is namelijk dat ze het altijd voor elkaar krijgt om die 3 4 5 te gooien. Sta je dan met de berekening waaruit blijkt dat haar keuze dom is.
Zoals Sjoerd Job al aangaf: Een simpel progje, genaamd `straat', met als invoer een getal k en een rijtje getallen [x1,...,xn], Ben ik nou zo dom of zijn jullie nou zo slim? dat is een retorische vraag dus. Zou het dan toch kloppen, of een wiskunde, of een talen knobbel?
Hartelijk dank voor jullie reactie.

Het progje is voor mij simpel omdat ik al jaren programmeer. Je zou hetzelfde ook `handmatig' kunnen uitvoeren. Een twee opzij leggen, en dan 30 of 40 keer yahtzee spelen, en hetzelfde met een twee en een zes opzij.

Tevens, ik hoop dat je ziet dat bij een [1,2] en [2,6] een evengrote kans op een straat geeft. Alleen een [2,3], [2,4] en [2,5] heeft een grotere kans. Als er een 2 en een 6 ligt, en je moet een straat maken, is het geen dom idee om ze allebei te pakken (dunkt mij).

[David]

Mijn zeer simpele kort door de bocht zijnde idee was, als je een 2 pakt heb ik dus 2 kansen op een straat, 1-5 of 2-6 en dat ook met een dobbelsteen meer, tov een 2 en een 6, je moet nu dus een 3,4,5 gooien in 2 beurten met een dobbelsteen minder.

Dat is op zich niet zo gek geredeneerd.

het erge is namelijk dat ze het altijd voor elkaar krijgt om die 3 4 5 te gooien.

Weet u dat zeker? Of onthoudt u alleen de keren dat ze die gooit (wint / meer succes) heeft? Het voorstel van Sjoerd Job om het "handmatig" uit te voeren kunt u ook gebruiken in een weddenschap.

Ben ik nou zo dom of zijn jullie nou zo slim? dat is een retorische vraag dus. Zou het dan toch kloppen, of een wiskunde, of een talen knobbel?

Het hangt denk ik ook van de oefening af. Een wiskunde- en een talenknobbel sluiten elkaar niet uit en vice versa. Om de berekening te kunnen heb ik veel sommen moeten maken om het aantal slordige fouten te verminderen en inzicht te krijgen in een vraag. Maar voor talen leren moet je ook veel oefenen, de "knobbel" is niet genoeg, en zonder specifieke knobbel kan je ook een eind komen denk ik.
Ik denk niet dat u dom bent, denk ik door uw de interesse in de vraag, uw redenatie en het onderwerp van discussie op het schoolplein, alleen misschien minder geoefend.