random getallen

[barto]

Hoe groot is de kans dat, als je 3 gehele getallen van -20 tot 20 neemt, dat hun som 0 is?

[David]

Arie had een mooie oplossing voor een dergelijke vraag. (Ik stelde zoiets voor een dobbelsteen).

Het (Een) idee is hiervoor in

De coefficient voor x^0 te bepalen (de constante term)
Dat geeft het aantal mogelijkheden op 0.

[wnvl]

Arie had een mooie oplossing voor een dergelijke vraag. (Ik stelde zoiets voor een dobbelsteen).

Het (Een) idee is hiervoor in

De coefficient voor x^0 te bepalen (de constante term)
Dat geeft het aantal mogelijkheden op 0.

Hele mooie manier om het probleem te bekijken, als je een programma hebt om die derde macht te berekenen. Zoniet is de coëfficiënt van berekenen even moeilijk als het originele probleem, lijkt me
.
Kom met Maple uit op 1261 voor de coëfficiënt voor .

Rechtstreeks over het originele probleem nadenken, bracht mij op de formule (gevallen zonder nul + 1 geval met 3 nullen + 120 gevallen met 1 nul)

Uiteindelijke kans is dan:

.

[David]

Of



Dan, met de coëfficiënt voor x^0, de constante, is


Geeft algemeen: aantal mogelijkheden dat de som van 3 getallen tussen -n en n gelijk aan 0 (n (pos.) geheel) is

voor gehele n kan dat worden weergeven in wat me lijkt op een zeshoek.
n = 0 zodat 3n^2+3n+1 = 1

Code: Selecteer alles

O

n = 1 zodat 3n^2+3n+1 = 7

Code: Selecteer alles

  .O O  
  O O O
  .O O

n = 3 zodat 3n^2+3n+1 = 19

Code: Selecteer alles

.  O O O
  O O O O 
.O O O O O
  O O O O 
.  O O O

n = 3 zodat 3n^2+3n+1 = 37

Code: Selecteer alles

    O O O O 
.  O O O O O
  O O O O O O
.O O O O O O O
  O O O O O O
.  O O O O O
    O O O O 

Over "de zeshoek" Uit deze (mijn) post

[barto]

Als ik Arie goed begrijp, moet ik dus gewoon de coëfficiënt van bepalen in:


En dat delen door

[arie]

Klopt.
Maar zoals David al schreef: het is een van de mogelijke methoden om dit probleem op te lossen.
Het is dan wel handig als je een programma hebt waar je die formule in kan stoppen, bv
Wolfram Alpha : http://www.wolframalpha.com/
Copy-paste dit eens naar het invoerveld:
(sum n=-20 to 20 x^n)^3
en je ziet onderaan in het resultaatscherm de uitwerking (met de factor voor x^0).

wnvl heeft bovenstaande ook al aangegeven en gaf bovendien een alternatieve methode.

Nog een andere manier om te tellen is via direct uitschrijven van alle mogelijkheden:
Stel het eerste getal is -20, dan moeten het 2e en 3e samen +20 zijn; dit kan op 21 manieren:
(20,0), (19,1), ...., (0,20).
Stel het eerste getal is -19, dan moeten het 2e en 3e samen +19 zijn; dit kan op 22 manieren:
(20,-1), (19,0), ...., (-1,20).
....
Stel het eerste getal is 0, dan moeten het 2e en 3e samen 0 zijn; dit kan op 41 manieren:
(20,-20), (19,-19), ...., (-20,20).
...
Stel het eerste getal is +20, dan moeten het 2e en 3e samen -20 zijn; dit kan op 21 manieren:
(-20,0), (-19,-1), ...., (0,-20).

Zie je de symmetrie?

In totaal zijn er dus
2*(21+22+....+40) + 41 mogelijkheden.
Je kent wsch wel een handige sommatieformule om (21+22+...+40) snel uit te rekenen.

[David]

Wat we al gebruikten is dat de kans op 3 getallen tussen -20 en 20 samen 0 is gelijk is aan het aantal mogelijkheden dat 3 getallen tussen -20 en 20 samen 0 zijn gedeeld door het totaal aantal mogelijkheden 3 getallen tussen -20 en 20 samen op te tellen.

Een van de mogelijkheden dat te doen is door de coëfficiënt voor x^0 in
te bepalen.
Dat deden we. Om verder te gaan zouden we de kans de kans dat, als je n gehele getallen van -20 tot 20 neemt, hun som 0 is.

als x < y

Nu is


(Je kan de ondergrens voor k verlagen en de bovengrens voor k verhogen, de extra termen zijn 0).
De coefficient voor k = 0 wordt dan:

Het aantal mogelijkheden voor 0.
Zo wordt de kans op 0:



Dus voor de 3 getallen, het aantal mogelijkheden:


Dus de kans (al gevonden)

[wnvl]

Nu is

Leuke formule. Zelf "ad hoc" gevonden (vraagt meer denkwerk dan de originele vraag, denk ik) of is dat gebaseerd op een of ander algemeen gekend theorema?

[David]

Dank je. Ik had eerst de "cumulatieve formule" gevonden, voor een dobbelsteen, om uit te rekenen hoeveel mogelijkheden er bijv. waren om 23 of lager te gooien met 8 dobbelstenen, wat ik later toepaste om precies te weten hoeveel mogelijkheden er waren om 23 te gooien met 8 dobbelstenen.
Dit was 2+ jaar geleden, naar aanleiding van een vraag op de middelbare school, iets als: wat is de kans dat je hoogstens 5 gooit met 3 dobbelstenen. Vandaar eerst het cumulatieve.

Ik ben dus weer even "de archieven" ingedoken, ook het papierwerk, want ik had het zelf gevonden. Toen kende ik alleen geen sigmanotatie. Nu heb ik er dit van gemaakt, maar of het van een algemeen bekend theorema is of zelfs een ontdekt theorema weet ik niet zeker. Ik heb het nergens kunnen vinden en mijn docent kende het niet.