Twee dobbelstenen

[Artificial]

Beste wiskundigen,

Ik heb een waarschijnlijk voor jullie redelijk simpele vraag. Stel je gooit 2 dobbelstenen. Een dobbelsteen A die van 1 t/m 31 gaat, en een dobbelsteen B die van 1 t/m 40 gaat. Wat is nu de kans dat je met dobbelsteen A hoger gooit dan dobbelsteen B? De waarden zijn voorbeeldwaarden trouwens.

Ik had ergens gelezen dat het dan 31/(40+31)*100 moet zijn, wat ongeveer 43,5% oplevert. Stop ik de dobbelstenen echter in een programma die 100.000 iteraties toetst, komt er ongeveer 39% uit. Dan zit er dus een fout in mijn programma, in de berekening van 43%, of ze zijn natuurlijk allebei fout.

Alvast bedankt

[David]

Andere getallen, zelfde idee.
Dobbelsteen A (in kolom) gaat van 1 t/m 4 en dobbelsteen B (in rij) gaat van 1 t/m 6.

Code: Selecteer alles

    1	2	3	4	5	6
1						
2	x					
3	x	x				
4	x	x	x			

De kruisjes geven de gevallen dat met A hoger dan B wordt gegooid.
Zoiets kan je ook doen voor jouw dobbelstenen.
Wat misschien mis kan gaan is dat ook de gevallen dat beide dobbelstenen hetzelfde aantal ogen weergeven worden meegeteld.

[arie]

Die formule klopt niet.

De kans is:









(merk op dat bovenstaande formule tevens de formule is die uit de tel-methode van David volgt)





Als de vraag zou zijn "A groter of gelijk aan B", dan kom je uit op 40% (ga dit zelf na via een aanpassing van bovenstaande berekening).

Als je je simulatie een aantal keren herhaalt, blijf je dan op 39% uitkomen?

[David]

Je kan dan nog op een iets andere manier op die formule komen;
Stel 2 dobbelstenen A en B.
Dobbelsteen A gaat van 1 t/m a (a > 0 en geheel of ook natuurlijk).
Dobbelsteen B gaat van 1 t/m b (b > 0 en geheel)

Stel (zonder verlies van algemeenheid) b >= a

Alle mogelijke waarden die B kan aannemen groter dan a vallen af.
Blijf je over met

Code: Selecteer alles

    1	2	3	4	...   a
1				
2						
3				
4	
.
.
.
a			

Zo zijn er a*a = a^2 mogelijkheden voor 2 dobbelstenen.
in a gevallen is het aantal ogen van beide dobbelstenen gelijk.
Blijft a^2 - a = a(a - 1) mogelijkheden over.

In evenveel gevallen is het aantal ogen van A groter dan B als dat van B groter dan A, dus deel door 2.
a(a-1)/2

In totaal zijn er a*b = ab mogelijkheden. Voor de kans geldt dus:
a(a-1)/2/(ab) = (a-1)/(2b) want a>0
In jouw voorbeeld: a = 31 en b = 40 zodat (a-1)/(2b) = 30/80
Vergelijk met het resultaat van Arie.

Mocht je niet willen stellen:
b >= a
dan wordt de functie:
min(a, b)/(2*max(a,b))
met min(a, b) is het minimum, kleinste waarde, van a en b en
max(a,b) is het maximum, grootste waarde van a en b.

Als je ook de gevallen wilt meetellen dat het aantal ogen van a gelijk is aan dat van b, tel dan a op bij
a(a-1)/2
a(a - 1)/2 + a = a(a + 1)/2
Geeft als kans (a + 1)/(2b)

[Artificial]

Beide bedankt voor het antwoord. Het gaat puur om a>b, niet gelijk. Indien gelijk, wordt het nogmaals berekend. Het is ook niet altijd zo dat a>=b,

@arie: Als ik de simulatie herhaal blijf ik inderdaad op 39% uitkomen. Ik heb nu de simulatie echter aangepast, en kom ik steeds tussen de 37% en 38% uit, wat overeenkomt met jouw resultaat.

Mijn wiskunde zelf is redelijk, maar in kansberekening ben ik nooit zo goed geweest. Middels de telmethode en na het lezen van de verdere uitleg snap ik in ieder geval dit gedeelte nu. Ik wil jullie hartelijk bedanken voor de uitleg

mvg

[arie]

... Indien gelijk, wordt het nogmaals berekend...

Ik vermoed dat dit de oorzaak van je 39% uitkomst was:
je hebt 30*31/2 = 465 kruisjes (= OK = A>B)
en in totaal 31x40 = 1240 mogelijke uitkomsten.
Hierdoor is je kans = 465/1240 = 37.5%.
Er zijn 31 uitkomsten waarbij A=B: A=B=1, A=B=2, ..., A=B=31.
Als je indien A=B steeds opnieuw gooit, dan zijn deze 31 uitkomsten geen mogelijke uitkomsten meer van je simulatie: het totaal aantal mogelijke uikomsten van je simulatie is hierdoor = 1240 - 31 = 1209.
Je simulatie geeft in dat geval als resultaat 465/1209 ~= 38.46% ~= 39%

[Artificial]

Dat zal inderdaad de oorzaak zijn geweest, had ik geen rekening mee gehouden. Bedankt voor die opheldering.