Mijn vraag is als volgt:
Met Sinterklaas komt een familie van 20 personen bij elkaar om lootjes te trekken ( dus trekking zonder teruglegging ).
a) Wat is nu het verwachte aantal mensen dat zichzelf gaat trekken?
b) Hoeveel x moeten ze het overdoen zodat niemand zichzelf heeft getrokken?
Ik kan ook niet echt een begin maken.
Ik zat eerst te denken dat het hypergeometrisch verdeeld zou zijn bij vraag a), maar ik snap het gewoon niet helemaal hoe je het oplost.
Zou iemand kunnen uitleggen hoe het moet:)?
Sinterklaar Lootjes Trekken
-
YousvanHalder
- Nieuw lid
- Berichten: 9
- Lid geworden op: 23 feb 2012, 14:19
Re: Sinterklaar Lootjes Trekken
Iedereen heeft kans 1/20 om zichzelf te trekken.YousvanHalder schreef: a) Wat is nu het verwachte aantal mensen dat zichzelf gaat trekken?
Dus het verwacht aantal mensen dat zichzelf trekt is 20*1/20=???
Merk op dat dit onafhankelijk is van de groote van de familie.
Re: Sinterklaar Lootjes Trekken
Dit is echt een heeeeeel moeilijk probleem dat niet misstaat in de categorie puzzels voor gevorderden.YousvanHalder schreef: b) Hoeveel x moeten ze het overdoen zodat niemand zichzelf heeft getrokken?
Via Poisson is wel een benaderende oplossing mogelijk op een eenvoudige manier.
Wat je met doen is de kans berekenen dat op 20 personen niemand zichzelf trekt. Dit noemen we
P(0|20).
Aantal keer dat ze dit moeten overdoen is 1/P(0|20)
Probeer eerst P(0|1) te berekenen, dan P(0|2), vervolgens P(0|3), ...
Probeer dan het systeem te herkennen...
Re: Sinterklaar Lootjes Trekken
Ik begin al te vergeten welke raadsels ik hier zelf al gepost heb
Nu is het natuurlijk eenvoudig...
Re: Sinterklaar Lootjes Trekken
Het kan eenvoudiger:
a)
Noem voor een groep van n personen het verwacht aantal mensen dat zichzelf gaat trekken E[n].
Dan is triviaal: E[1]=1 (het verwachte aantal mensen uit een groep van 1 dat zijn eigen lot trekt is 1)
Als we nu E[n+1] uit kunnen drukken in E[n] kunnen we E berekenen voor elke waarde van n:
E[2] volgt dan uit E[1]=1,
E[3] volgt uit E[2],
E[4] uit E[3],
etc.
Stel E[n]=x voor een groep van n personen.
We zoeken nu E[n+1] voor een groep van n+1 personen.
De extra persoon, p(n+1) heeft (n+1) mogelijkheden een lot te trekken.
- hij trekt zijn eigen lot, 1 mogelijkheid, in dit geval zullen naar verwachting x+1 mensen hun eigen lot trekken (van de overige n personen trekken nog steeds x hun eigen lot)
- hij trekt niet zijn eigen lot, n mogelijkheden: p(n+1) ruilt zijn lot(n+1) met 1 van de n loten lot(i) van loten uit de oorspronkelijke groep (met 1<=i<=n).
-- als lot(i) in bezit is van persoon(i), 1 mogelijkheid, dan trekt persoon(i) in de nieuwe situatie niet zichzelf maar persoon(n+1), en trekken in dit geval x-1 mensen hun eigen lot
-- als lot(i) NIET in bezit is van persoon(i), n-1 mogelijkheden, dan trok een andere persoon, zeg persoon(j) lot(i). In de nieuwe situatie trekt persoon(j) nu niet lot(i) maar lot(n+1), dus nog steeds een lot van een andere persoon. In dit geval is de verwachting daarom nog steeds dat x personen van de n+1 personen hun eigen lot trekken.
Van de n+1 gelijkwaardige mogelijkheden hebben we er dus
- 1 met verwachting x+1
- 1 met verwachting x-1
- n-1 met verwachting x
Wat is dus E[n+1] ?
En wat is E[20] ?
b)
Zijn voor onderdeel b) de gegevens in de posts van wnvl en op=op voldoende duidelijk voor je ?
a)
Noem voor een groep van n personen het verwacht aantal mensen dat zichzelf gaat trekken E[n].
Dan is triviaal: E[1]=1 (het verwachte aantal mensen uit een groep van 1 dat zijn eigen lot trekt is 1)
Als we nu E[n+1] uit kunnen drukken in E[n] kunnen we E berekenen voor elke waarde van n:
E[2] volgt dan uit E[1]=1,
E[3] volgt uit E[2],
E[4] uit E[3],
etc.
Stel E[n]=x voor een groep van n personen.
We zoeken nu E[n+1] voor een groep van n+1 personen.
De extra persoon, p(n+1) heeft (n+1) mogelijkheden een lot te trekken.
- hij trekt zijn eigen lot, 1 mogelijkheid, in dit geval zullen naar verwachting x+1 mensen hun eigen lot trekken (van de overige n personen trekken nog steeds x hun eigen lot)
- hij trekt niet zijn eigen lot, n mogelijkheden: p(n+1) ruilt zijn lot(n+1) met 1 van de n loten lot(i) van loten uit de oorspronkelijke groep (met 1<=i<=n).
-- als lot(i) in bezit is van persoon(i), 1 mogelijkheid, dan trekt persoon(i) in de nieuwe situatie niet zichzelf maar persoon(n+1), en trekken in dit geval x-1 mensen hun eigen lot
-- als lot(i) NIET in bezit is van persoon(i), n-1 mogelijkheden, dan trok een andere persoon, zeg persoon(j) lot(i). In de nieuwe situatie trekt persoon(j) nu niet lot(i) maar lot(n+1), dus nog steeds een lot van een andere persoon. In dit geval is de verwachting daarom nog steeds dat x personen van de n+1 personen hun eigen lot trekken.
Van de n+1 gelijkwaardige mogelijkheden hebben we er dus
- 1 met verwachting x+1
- 1 met verwachting x-1
- n-1 met verwachting x
Wat is dus E[n+1] ?
En wat is E[20] ?
b)
Zijn voor onderdeel b) de gegevens in de posts van wnvl en op=op voldoende duidelijk voor je ?