Jukes-Cantor model

Brent · Bericht door **Brent** » 22 feb 2013, 14:56

Hallo allemaal,

Momenteel houd ik me bezig met Markov-ketens. Het Jukes-Cantor model is een DNA-substitutiemodel dat veronderstelt dat:
- Elke base in de reeks heeft een even grote kans om vervangen te worden door een andere base.
- Als een nucleotide-substitutie plaatsvindt, dan hebben alle andere nucleotides dezelfde kans om die nucleotide te vervangen.

Dus bijvoorbeeld C heeft een kans van $\alpha$ om vervangen te worden door A, G of T en een kans van $1 - 3\alpha$ om niet vervangen te worden.
In kansen: $P(X_1 = C | X_0 = x_0) = \alpha$ waarbij $x_0 \in \{A, G, T\}$ en $P(X_1 = C | X_0 = C) = 1 - 3\alpha$ . Vanzelfsprekend $0 < \alpha < \frac{1}{3}$ .

Nu is het de bedoeling dat ik het volgende scenario in $\alpha$ uitdruk:
Veronderstel een enkele locus in het DNA van twee organismes die dezelfde voorouder delen. Neem aan dat beide organismes twee generaties verwijderd zijn van deze voorouder. Bereken de kans dat in beide organismes de locus door G bezet wordt, waarbij de voorouder ook G heeft op die locatie.

Dus ik moet de kans $P(X_2 = G, Y_2 = G | A_0 = G)$ berekenen. $X_t$ is de locus van het eerste organisme op 'generatie' $t$ , $Y_t$ die van het tweede organsime op $t$ en $A_0$ is de locus van de voorouder op generatie 0.

Mijn uitwerking:
$P(X_2 = G, Y_2 = G | A_0 = G) = P(X_2 = G | A_0 = G)P(Y_2 = G | A_0 = G)$ , want $X$ en $Y$ zijn volgens mij onafhankelijk van elkaar.

$= \left(\sum_{x_1} P(X_2 = G, X_1 = x_1 | A_0 = G)\right)\left(\sum_{y_1} P(Y_2 = G, Y_1 = y_1 | A_0 = G)\right)$
$= \left(\sum_{x_1} P(X_2 = G | X_1 = x_1)P(X_1 = x_1 | A_0 = G)\right)\left(\sum_{y_1} P(Y_2 = G | Y_1 = y_1)P(Y_1 = y_1 | A_0 = G)\right)$
$= ((1-3\alpha)^2 + 3\alpha^2)((1-3\alpha)^2 + 3\alpha^2) = ((1-3\alpha)^2 + 3\alpha^2)^2$

Maar volgens de antwoorden is het:
$((1-3\alpha)^2 + \alpha^2)^2$ .

Ik begrijp niet waarom die 3 weggelaten wordt voor $\alpha$ . Wat doe ik fout, of zit er een fout in de antwoorden?

Alvast bedankt!

Bericht door **arie** » 22 feb 2013, 16:05

Het antwoordmodel is fout.

Een andere manier om het te berekenen is: neem de overgangsmatrix:

$M = \begin{bmatrix} 1-3a & a & a & a\\ a & 1-3a & a & a\\ a & a & 1-3a & a\\ a & a & a & 1-3a \end{bmatrix}$

Wat is dan de waarde van een diagonaalelement van M^2 ?
Hint: je hoeft alleen de waarde van M^2[1,1] te berekenen.

Dan heb je de kans voor 1 kleinkind met zelfde base als de grootvader, de kans voor 2 kleinkinderen is dus het kwadraat daarvan (de substitutiekansen in de 2 (klein)kinderen zijn onafhankelijk zoals je al schreef). Noot: ze moeten dan wel allebei het gen van opa erven en niet van oma.

Brent · Bericht door **Brent** » 22 feb 2013, 17:17

arie schreef:Het antwoordmodel is fout.

Een andere manier om het te berekenen is: neem de overgangsmatrix:

$M = \begin{bmatrix} 1-3a & a & a & a\\ a & 1-3a & a & a\\ a & a & 1-3a & a\\ a & a & a & 1-3a \end{bmatrix}$

Wat is dan de waarde van een diagonaalelement van M^2 ?
Hint: je hoeft alleen de waarde van M^2[1,1] te berekenen.

Dan heb je de kans voor 1 kleinkind met zelfde base als de grootvader, de kans voor 2 kleinkinderen is dus het kwadraat daarvan (de substitutiekansen in de 2 (klein)kinderen zijn onafhankelijk zoals je al schreef). Noot: ze moeten dan wel allebei het gen van opa erven en niet van oma.

Bedankt voor het snelle antwoord.

Met die overgangsmatrix had ik het inderdaad sneller kunnen berekenen.
$M^2[1,1] = (1-3\alpha)^2 + \alpha^2 + \alpha^2 + \alpha^2 = (1-3\alpha)^2 + 3\alpha^2$

Wiskundeforum

Jukes-Cantor model

Jukes-Cantor model

Re: Jukes-Cantor model

Re: Jukes-Cantor model