Hallo, Vraagje?

Continue & discrete verdelingen, toevalsveranderlijken, betrouwbaarheidsintervallen, correlaties.
krishna
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 21 mar 2013, 21:54

Hallo, Vraagje?

Bericht door krishna » 21 mar 2013, 22:11

Hallo allemaal,

Ik ben hier met een vraagje?

hier is de som: de kans dat rood komt is 10,9% en de kans dat groen komt is 89,1% als groen komt mag ik omhoog en ben bij rood moet ik naar beneden.
de trap heeft 100 treden en ik sta op de derde tree, als ik op de grond sta ben ik af en als ik boven aan de trap kom heb ik gewonnen.
om het nog moeilijker te maken, ik mag maar 2 keer achter elkaar naar beneden bij de 3 de keer achter elkaar rood ben ik ook af. dus voor elke twee rode die er komt moet er een groene komen om in leven te blijven.
de vraag is nu natuurlijk hoe groot is de kans dat ik win, en dus te gelijke tijd hoe groot is de kan dat ik verlies.
Laatst gewijzigd door krishna op 24 mar 2013, 19:02, 2 keer totaal gewijzigd.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3570
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Hallo, Vraagje?

Bericht door arie » 22 mar 2013, 08:10

Je schrijft enerzijds:
krishna schreef:... ik mag maar 3 keer achter elkaar naar beneden bij de 4 de keer achter elkaar rood ben ik ook af ...
maar anderzijds:
krishna schreef:... dus voor elke twee rode die er komt moet er een groene komen om in leven te blijven ...
Ik neem aan dat je hier bedoelt: na elke derde rode moet een groene komen

Een oplossing:
Stel een Markov keten op met 396 transiente toestanden (h,d), waarbij
h = 1 .. 99 = hoogte op de ladder
d = 0 .. 3 = aantal keren dat je achter elkaar naar beneden gegaan bent.
dit levert:
toestand 1 = (1,0)
toestand 2 = (1,1)
toestand 3 = (1,2)
toestand 4 = (1,3)
toestand 5 = (2,0)
toestand 6 = (2,1)
...

Vervolgens niet-transient:
toestand 397 = hoogte 100 = winst
toestand 398 = hoogte 0 OF 4e keer op rij naar beneden

Noem p = 0.891 = kans om omhoog te gaan (= groen),
q = 1 - p = kans om naar beneden te gaan (= rood).

Vanuit toestand (n, m) hebben de overgangen naar
(n+1, 0) een kans p,
(n-1, m+1) een kans q als n>1 EN m<3, anders met kans q naar toestand 398.

Gebruik deze keten om de twee gevraagde kansen te bepalen.

Kom je zo verder?

krishna
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 21 mar 2013, 21:54

Re: Hallo, Vraagje?

Bericht door krishna » 22 mar 2013, 12:53

hey,

en bedankt voor je reactie en je hebt gelijk er stond iets fout geschreven bij elke 3de keer rood ben ik af dus niet naar 4 keer.
dus dat naar elke 2 rode een groene moet komen om in leven te blijven klopt.
Laatst gewijzigd door krishna op 24 mar 2013, 18:58, 1 keer totaal gewijzigd.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3570
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Hallo, Vraagje?

Bericht door arie » 22 mar 2013, 13:35

Hoe heb je geleerd dit soort problemen op te lossen?
(= met welk vak ben je bezig en wat behandelen ze in de leerstof over deze problemen?)

Of heb je misschien alleen het eindantwoord nodig?

krishna
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 21 mar 2013, 21:54

Re: Hallo, Vraagje?

Bericht door krishna » 22 mar 2013, 13:43

ik heb inderdaad het eind antwoord nodig.
en ik zit niet meer op school dit is een vraag waar ik al langer mee zit maar er gewoon niet uitkom.
bedankt voor je snelle reacties.

krishna
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 21 mar 2013, 21:54

Re: Hallo, Vraagje?

Bericht door krishna » 22 mar 2013, 13:45

oh en de vraag hoe ik dit heb geleerd, van mijzelf. uren en nog meer uren puzzelen tot dat ik in slaapval
Laatst gewijzigd door krishna op 24 mar 2013, 18:58, 1 keer totaal gewijzigd.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3570
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Hallo, Vraagje?

Bericht door arie » 22 mar 2013, 13:56

Met:
winst = bereiken trede 100
verlies = bereiken trede nul OF 3 keer op rij rood
en
starten vanaf trede 3,
kans omhoog = 0.891
kans omlaag = 0.109

kom ik uit op:
- kans op winst = 0.867002536838543335728507310040197396...
- kans op verlies = 0.132997463161456664271492689959802603...
dus afgerond:
winstkans: 86.7%
verlieskans: 13.3%


De theorie hierachter is inderdaad vrij ingewikkeld, je vindt een mooi voorbeeld hier:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Markov-keten#Voorbeeld_1
In jouw vraagstuk beweeg je alleen niet door kamers maar over een trap,
en heb je niet 1 eindtoestand (gevangen), maar 2 (winst of verlies).

Wel een leuk probleem!

krishna
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 21 mar 2013, 21:54

Re: Hallo, Vraagje?

Bericht door krishna » 22 mar 2013, 14:16

super duidelijk :)
bedankt, nu begrijp ik niet hoe de kans op verlies groter kan zijn door de stappen heen door omdat het toch juist de kans op verlies afneemt naar mate er 3 keer op een rij een rood zou moeten komen?
of sla ik nu helemaal mis?

en wat als alles het zelfde blijft enkel de hoogte van de trap zou veranderen naar bijvoorbeeld 50 treden of 1000 trede. Veranderen de percentages dan enorm of blijven ze in de buurt schommelen?
Laatst gewijzigd door krishna op 24 mar 2013, 18:59, 1 keer totaal gewijzigd.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3570
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Hallo, Vraagje?

Bericht door arie » 22 mar 2013, 15:08

krishna schreef:... nu begrijp ik niet hoe de kans op verlies groter kan zijn door de stappen heen door omdat het toch juist de kans op verlies afneemt naar mate er 3 keer op een rij een rood zou moeten komen? ...
Grofweg gezegd:
als je op een willekeurige trede staat is de kans op 3 keer achter elkaar rood ongeveer 0.1 * 0.1 * 0.1 = 0.001 (en dus de kans op niet rood 0.999).
Om boven te komen moet je ten minste 97 stappen nemen, maar in feite nog meer (meer dan 100) omdat je ook af en toe weer een stap naar beneden gaat.
Als je met elke stap een kans van 1/1000 hebt om te verliezen (3 keer rood) heb je dus met meer dan 100 stappen meer dan 100 * (1/1000) = meer dan 1/10 kans om te verliezen (ruw geschat).

krishna schreef:... en wat als alles het zelfde blijft enkel de hoogte van de trap zou veranderen naar bijvoorbeeld 50 treden of 1000 trede. Veranderen de percentages dan enorm of blijven ze in de buurt schommelen? ...
Hoe meer treden, hoe groter de kans op verlies door 3 maal rood.
Als we alle andere getallen hetzelfde houden, dan zijn de kansen:

bij 10 treden:
winst: 0.9896250783664839051696728186
verlies: 0.01037492163351609483032718138

bij 20 treden:
winst: 0.9751856972480474688536467685
verlies: 0.02481430275195253114635323137

bij 50 treden:
winst: 0.9331193919196642544194696753
verlies: 0.06688060808033574558053032448

bij 500 treden:
winst: 0.4815990198221223481226944320
verlies: 0.5184009801778776518773055667

bij 1000 treden:
winst: 0.2309495535329388946707116709
verlies: 0.7690504464670611053292883248

krishna
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 21 mar 2013, 21:54

Re: Hallo, Vraagje?

Bericht door krishna » 22 mar 2013, 15:23

fantastisch hoe je dat zo makkelijk uitlegt.

maar jouw antwoord brengt een vraag met zich mee.

als je bij 10 trede:

winst: 0.9896250783664839051696728186
verlies: 0.01037492163351609483032718138

is en het doel van het som zou zijn dat je telkens bovenaan komt. ongeacht hoeveel trede.
Dan zou je kiezen voor sessies van 5 of 10 trede. maar aangezien er geen geheugen is bij de som.
is het dan ook zo dat als je 10 sessies zou doen van 10 trede de som gelijk blijft aan het antwoord van 1 keer 100 trede.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3570
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Hallo, Vraagje?

Bericht door arie » 22 mar 2013, 17:28

Er is inderdaad geen geheugen : elke keer dat je op trede k staat heb je vanaf die trede dezelfde kans op winst en dezelfde kans op verlies.

Maar de sessies zijn niet identiek: in de tweede sessie mag je via herhaald rood-rood-groen-... veel verder afdalen dan in de eerste sessie (in de eerste sessie sta je op trede 0 op de grond en heb je verloren, in de tweede sessie sta je op trede 0 bovenaan de trap van de eerste sessie en mag je doorgaan, met een kans om terug te komen en alsnog te winnen).

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Hallo, Vraagje?

Bericht door wnvl » 22 mar 2013, 17:36

Het lost niet jou probleem op, maar als je die regel dat je niet 3 keer achter mekaar naar beneden mag, zou weglaten, kent het probleem een hele elegante oplossing zonder matrixberekeningen. Het is dan een variant op wat in de litteratuur gekend staat als "Gambler's ruin"

http://en.wikipedia.org/wiki/Gambler's_ruin

Zie sectie "Example of Huygens' Result".

krishna
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 21 mar 2013, 21:54

Re: Hallo, Vraagje?

Bericht door krishna » 22 mar 2013, 18:43

Ik begrijp wat je bedoelt Arie. En over die "Gamblers ruin"
bedoelde je het punt van "Any given finite string of heads and tails will eventually be flipped with certainty: the probability of not seeing this string, while high at first, decays exponentially. In particular, the players would eventually flip a string of heads as long as the total number of pennies in play"

en dit begreep ik al maar de vraag was meer hoe groot zou die kans zijn dat het gebeurde in een sessie van 10 of 100 of zelfs 1000.
Maar hij heeft me wel een ander gedachten gang gegeven.


dus nu zo en om in de casino sfeer te blijven gebruiken we geld een een vorm van kansspel.

Stap 1.

Het start kapitaal is 473 euro en de eerste inzet is op 11 plekken een losse inzet van 1 euro en als je er 1 raakt krijg je die losse inzet van 1 euro vermenigvuldigt met 12 , dus een winst van 1 euro. en dan begin je opnieuw tot dat je 100 euro winst zou hebben. Als je mist ga je naar stap 2

Stap 2

Doe nu jouw eerste inleg van 1 euro verhogen naar 6 euro dus nu 11 inzetten van 6 euro een totale inleg van 66 euro.
Als je raakt krijg je jouw 6 euro keer 12 dus een winst van 6 euro aangezien je in de vorige stap 11 euro had verloren heb je nu nog maar een verlies van 5 euro en ga je naar Stap 3 als je mist ga je naar Stap 4.

Stap 3
Je zet nu weer 11 losse inzetten van 6 euro in om de 5 euro die je nog verloren het terug te winnen +1 euro daarboven op. Als je raakt heb je 1 euro winst en begin je weer bij Stap 1. als je mist ga je naar Stap 4.

Stap 4

Je verhoogd nu weer jouw losse inzet van 6 euro naar 36 euro dus nu 11 losse inzetten van 36 euro.
Als je raakt krijg je jouw losse inzet van 36 keer 12 en ga je naar Stap 5 als je mist ben je blut

Stap 5

Je zet weer 11 losse inzetten van 36 euro in als je raakt begin je weer bij Stap 1 en als je mis ben je blut


Ik hoop dat het klopt en dat ik geen fouten door het verhaal heen heb geschreven maar volgens mij is de opzet duidelijk.



wat zouden nu de percentages winst/verlies om 100 euro te winnen zijn?
wederom zijn de raak en verlies percentages 89,1 tegen 10,1
Laatst gewijzigd door krishna op 24 mar 2013, 19:01, 2 keer totaal gewijzigd.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3570
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Hallo, Vraagje?

Bericht door arie » 24 mar 2013, 11:42

Neem je inzet afhankelijk van het kapitaal dat je hebt:
0 .. 10 euro: geen inzet mogelijk: einde spel
11 .. 65 euro: inzet 11 x 1 euro
66 .. 395 euro: inzet 11 x 6 euro
396 .. 437 euro: inzet 11 x 36 euro
438 .. 467 euro: inzet 11 x 6 euro
468 .. 572 euro: inzet 11 x 1 euro
573: einde spel: 100 euro gewonnen

met:
beginkapitaal = 473 euro
p(rondewinst) = 0.891

kom je via een Markov model uit op:
winst: 0.053463696386219150880548...
verlies: 0.946536303613780849119451...
dus een winstkans van ongeveer 5.35%

krishna
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 21 mar 2013, 21:54

Re: Hallo, Vraagje?

Bericht door krishna » 24 mar 2013, 13:12

Wederom bedankt, en ik begin Markov's model steeds beter te begrijpen en ik ga proberen om het allemaal met een model vorm te geven. Dan word het ook allemaal veel duidelijker voor mijzelf en voor anderen die het moeten in kijken, En ik denk dat ik dan zelf ook veel beter in staat zal zijn om toekomstige problemen eenvoudiger op te lossen.
Laatst gewijzigd door krishna op 24 mar 2013, 19:01, 1 keer totaal gewijzigd.

Plaats reactie