Blind proeven: probleem.

Continue & discrete verdelingen, toevalsveranderlijken, betrouwbaarheidsintervallen, correlaties.
Plaats reactie
thom
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 11 sep 2013, 12:26

Blind proeven: probleem.

Bericht door thom » 11 sep 2013, 13:58

L.S.,

Door het houden van een kleinschalige, 'geblindeerde', proeverij van A-merken pilsener kwam ik op het volgende probleem:

Er staan 5 glazen met bier, genummerd 1 t/m 5, voor je van biermerken A t/m E. Je moet na het proeven aan de bieren op plekken 1 t/m 5 een merk, in dit geval letter, toekennen. Daarbij bestaat er de kans dat je bij willekeurig gokken zomaar 1 of meerdere merken correct toekent. Daarbij kwamen er bij mij twee vragen op die ik niet kan modelleren in de juiste formulevorm, en dus niet kan oplossen.

Stel, glas 1 = merk A, glas 2 = merk B, etc zodat de glazen in volgorde '12345' de bijbehorende biermerken 'ABCDE' heeft.

1. Wat is de kans dat ik er precies 1 goed gok, als ik willekeurig (in dit geval dus zonder te proeven en informatie in te winnen) de vijf merken toeken aan de vijf glazen.
Stel, van de vijf bieren kies ik de eerste juist, dus ik ken als eerste merk A toe. De kans daarop is 1/5. De 2de moet dan fout zijn, dat is dan 3/4 kans. De 3de 2/3, de 4de 1/2 en de 5de 1. Zo is de kans 1/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 * 1. Indien de tweede fout is, kan ik ook die kans uitrekenen. Is hier een handiger manier voor te bedenken?

2.Wat is de 'gokkans', oftewel de gemiddelde uitkomst van hoeveel merken je goed hebt bij willekeurige keuze?
Hierbij zou ik alle mogelijke uitkomsten bij elkaar op moeten tellen en moeten delen door het totaal aantal mogelijke volgordes (hier 5!), stel ik me zo voor. Maar hoe bereken je het aantal mogelijke uitkomsten?

Ik zie niet welke formules ik moet gebruiken om bovenstaande, simpel ogende, problemen op te lossen. Kan iemand me helpen?

Gr, Thom

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3571
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Blind proeven: probleem.

Bericht door arie » 11 sep 2013, 15:12

[1] Het totaal aantal mogelijke permutaties is 5!, dat schreef je al.
Het aantal mogelijkheden om precies 1 biersoort goed te hebben is:
(aantal permutaties waarbij plek 1 goed, de overige alle 4 fout) +
(aantal permutaties waarbij plek 2 goed, de overige alle 4 fout) +
...
(aantal permutaties waarbij plek 5 goed, de overige alle 4 fout)

"de overige alle 4 fout" is een derangement van n=4 elementen: een permutatie van 4 elementen, waarbij ieder element op een andere plek terecht komt (want alleen dan staan alle 4 de biersoorten op een verkeerde plek).
Voor een gegeven n bepaal je het aantal mogelijke derangementen met de subfactorial !n (dus het uitroepteken voorafgaand aan n).
Hiervoor geldt:
!n = (n-1)*( !(n-1) + !(n-2) )
waarbij
!0 = 1
!1 = 0
Met deze definitie kan je alle waarden achtereenvolgens bepalen:
!2 = (2-1)*(!1 + !0) = 1
!3 = (3-1)*(!2 + !1) = 2

Kan je hiermee nu zelf !4 bepalen ?
Hoeveel mogelijkheden zijn er dus om precies 1 biersoort op de goede plek te hebben?


[2]
Werk ditzelfde uit voor 0, 2, .., 5 soorten op de goede plek.


Kom je hiermee verder?

PS: zie zo nodig voor wat meer achtergrond info:
http://en.wikipedia.org/wiki/Derangement

Plaats reactie