sinus vergelijkingen

[lolalala]

Hoi,

Ik heb morgen een repetitie over sinusoïden, en het is al heel lang geleden dat ik met sinus etc. gewerkt heb dus het lukt niet zo goed. Ik heb dus een vraagje over een algemene regel om vergelijkingen met sinus op te lossen (staat niet duidelijk in m'n boek en kon het ook niet op internet vinden), dus ik hoop dat iemand even mee wil helpen!

Bijvoorbeeld hier:
"We bekijken de golf met de formule y = 2sin3x op het niveau [0, 2 ]. Bepaal de amplitude (a), de evenwichtswaarde (b) en de periode (p) van de golf"
Nou die lukten wel, want de algemene formule is y = b + a sin x, dus a = 2, b = 0, en p is .
Maar dan: "Welke waarden moet je voor x nemen om de kleinste waarde van y te krijgen?"
De kleinste waarde van y is dus b-a = -2, dus formule wordt: 2 sin 3x = -2

Volgens mij is de volgende stap dan: sin 3x = = -1

Maar hoe dan? Voor de eerste waarde x = (-1) delen door 3 omdat er (sin) 3x staat? (= -0,52..)?? Die mocht trouwens niet want het moest tussen 0 en 2 zijn, dus moet je dan +0,52 etc. doen of moet je die dan ook nog delen door 3 omdat er dus 3 x stond? (En dan kan je nog meer punten vinden door + 2 en - 2 te doen, maar daarbij dezelfde vraag: moet je die dan ook nog een keer door 3 delen?)

Sorry voor het lange verhaal. Ik hoop dat iemand het allemaal snapt en wil helpen!

Alvast bedankt!

*Inmiddels nog een vraag: wanneer is een amplitude negatief? (Gaat de golf dan vanuit de y-as eerst naar beneden?)

[arno]

in y = 2sin 3x stelt 2 de amplitude (maximale uitwijking) voor, en deze is altijd positief. Voor sin 3x = -1 vind je inderdaad de kleinste waarde van y. Teken eens een eenheidscirkel en ga aan de hand daarvan eens na wanneer de sinus gelijk is aan -1. Los aan de hand daarvan de vergelijking sin 3x = -1 op door deze vergelijking op te vatten als een vergelijking van de vorm sin a = sin b, die a = b+k∙2π of a = π-b+k∙2π als oplossing heeft, waarbij k een geheel getal is.

[lolalala]

in y = 2sin 3x stelt 2 de amplitude (maximale uitwijking) voor, en deze is altijd positief. Voor sin 3x = -1 vind je inderdaad de kleinste waarde van y. Teken eens een eenheidscirkel en ga aan de hand daarvan eens na wanneer de sinus gelijk is aan -1. Los aan de hand daarvan de vergelijking sin 3x = -1 op door deze vergelijking op te vatten als een vergelijking van de vorm sin a = sin b, die a = b+k∙2π of a = π-b+k∙2π als oplossing heeft, waarbij k een geheel getal is.

ok ik zal dat even proberen met die eenheidscirkel, kijken of dat lukt. (moet wel eerst opzoeken hoe dat ook alweer moet. voor dit hoofdstuk moet ik namelijk zonder tekenen alles kunnen doen) en dat tweede stuk over sin a = sin b en k etc. snap ik overigens niet zo goed..

en de amplitude is toch niet altijd positief? want ik heb ook een som met een formule: - sin x.. dus dan is de amplitude toch -1?

[arno]

De standaardfunctie sin x is periodiek met periode 2π omdat voor een geheel getal k geldt dat sin(x+k∙2π) = sin x. Verder geldt dat sin(π-x) = sin x. Met behulp van deze eigenschappen kun je afleiden dat uit
sin a = sin b volgt dat a = b+k∙2π of a = π-b+k∙2π.
Bij een functie van de gedaante y = asin bx stelt |a| de amplitude voor. Dit betekent dat de amplitude dus altijd positief is. Het stelt namelijk de maximale afstand van een punt op de grafiek tot de evenwichtsstand voor, en een afstand is altijd per definitie positief.

[lolalala]

ok heel erg bedankt!
maar zou je nog uit willen leggen wanneer die - dan voor de amplitude moet, of wat het verschil is als die ervoor staat?

hier bijvoorbeeld nog twee formules uit een opgave:
y = -1 + 2 sin x en
y = -1 - 2 sin x

op de GR zie ik dat de grafiek bij de tweede formule gewoon een spiegelbeeld van de eerste door y=-1 is. betekent dat dan dus dat altijd als er een - voor de amplitude staat de golf eerst naar beneden gaat? (vanuit de evenwichtslijn bij x = 0 gezien)

(het zijn vast hele domme vragen maar ik zit echt even totaal niet meer in het onderwerp en heb helaas ook geen tijd meer om alles over sinus en de eenheidscirkel weer grondig uit te zoeken.. gelukkig lukt de rest met de vergelijkingen wel maar dit zou toch nog handig zijn om te weten!)

[arno]

Bij y = -1-2sin πx zie je dat y = -1 de evenwichtsstand voorstelt. Omdat sin πx minimaal -1 en maximaal 1 is zie je dat y varieert van -1-2 = -3 tot -1+2 = 1. De evenwichtsstand vind je nu uit ½(-3+1) = ½∙-2 = -1 en de amplitude is de maximale waarde min de evenwichtsstand, wat dus 1-(-1) = 1+1 = 2 als amplitude oplevert.