Integreren

[Kelvin24]

Beste allemaal.

Ik loop vast met een opgave:

de integrale van een grens van 2 en 1/2 van de functie x + 1/x (ik hoop dat jullie begrijpen wat ik bedoel)

De uitwerking die ik tot nu toe heb:

Stap 1: (1/2x^2 + lnx) grens 2 en 1/2
Stap 2: (2 + ln2) - ( 1/8 + ln 1/2)
Stap 3: 2 + ln 2 - 1/8 - ln 1/2

Mijn antwoord: 15/8 + ln 2 - ln 1/2

Maar de antwoord in het boek staat: 15/8 + 2 ln 2

Ik hoop dat jullie mij dit kunnen uitleggen.

Alvast bedankt.

[Brent]

Je bedoelt ?

Jouw antwoord is juist, maar nog niet genoeg vereenvoudigd. Ben je bekend met ?

[Kelvin24]

Brent,

Daar ben ik bekend mee.

Ik moet dan ln2 - ln 1/2 opschrijven als ln 2 als teller en 1/2 als noemer. Moet dan de breuk oplossen? Als ik dat doe dan krijg ik 2 namelijk 2 * 2/1.

[Kinu]

Brent,

Daar ben ik bekend mee.

Ik moet dan ln2 - ln 1/2 opschrijven als ln 2 als teller en 1/2 als noemer. Moet dan de breuk oplossen? Als ik dat doe dan krijg ik 2 namelijk 2 * 2/1.

Exact. Nu gewoon opmerken dat .

[Kelvin24]

Maar als ik 2 deelt door 1/2 dan krijg ik 2 eruit, dan krijg ik toch niet 2 ln2, maar ln2?

Ik heb daarnaast ook nog 3 andere opgaven die waar ik niet mee uitkom. Ik hoop dat jullie mij hiermee ook kunnen helpen. Ik was van plan om ze in mijn volgende twee vragen te stellen, maar ik moet dit zo snel snappen.

De opgaven en tot waar ik in mijn uitwerking niet verder kan:

- opgave 1:

Een grens van 1 en -1 (e^x - e^-x) dx

Uitwerking:
(e^x - e^-x) 1 en -1 = (e^1 - e^-1) - (e^-1 - e^1) = e^1 - e^-1 - e^-1 + e^1 = 2e^1 - 2e^-1

Antwoord: 0

- Opgave 2:

Een grens van 0 en -1 ( 1 / x+2) dx

Uitwerking:
Een grens van 0 en -1 (x+2)^-1 dx = (ln(x+2))^-1 = .......

Antwoord: ln2

- Opgave 3:

Een grens van 1/4pi en -1/4pi (2cos2x)

Uitwerking:
(2xsin2x) 1/4pi en -1/4pi = (2/4pi * 1) - (-2/4pi * -1)= 2/4pi - 2/4pi = 0

Antwoord: 2

Ik merk ook dat ik in het algemeen moeite hebt met opgaven waar ln en e in voorkomen. Misschien dat jullie adviezen hierin voor mij hebben. Ik kan namelijk logaritmische als expontiele functies maken, alleen als het dan om ln en e gaat dan lukt het mij niet. Ik weet wel dat e gewoon net als pi een getal is. Bij het maken zie ik ze daarom als getallen. Ln is een logaritme met de grondgetal e.

Bij integreren zijn er regels net als bij differentieren(kettingregel etc.). Moet ik die ook kennen om soortgelijke opgaven te kunnen maken als hierboven? Of is de manier hoe ik het doe prima?

Alvast enorm bedankt.

[SafeX]

Maar als ik 2 deelt door 1/2 dan krijg ik 2 eruit, dan krijg ik toch niet 2 ln2, maar ln2?

Laat zien dat -ln(1/2)=ln(2) ...

[SafeX]

- opgave 1:

Een grens van 1 en -1 (e^x - e^-x) dx

Laat eerst de primitieve zien in het bijzonder van: e^(-x)

- Opgave 2:

Een grens van 0 en -1 ( 1 / x+2) dx

Eerst de primitieve ...

- Opgave 3:

Een grens van 1/4pi en -1/4pi (2cos2x)

Eerst de primitieve ...


Natuurlijk niet alleen wat je als primitieve vindt maar ook hoe je dat vindt ...

Vraag: kloppen de grenzen zo? Want dat geef je niet duidelijk aan!
Normaal is dat je de grenzen aangeeft als: van (ondergrens) tot (bovengrens)

[Kelvin24]

SafeX

De grenzen kloppen allemaal. Ik zal het de volgende keer zo opschrijven dan weet ik dat ook.

De eerste opgave heb ik aangepakt als een breuk:
2 delen 1/2 en dat vervolgens opgelost door de deler om te draaien dus 2 * 2/1 dan krijg je 4 uit. Niet 2.

Dan heb ik als antwoord ln4 en dat is toch goed? Want als ik kijk naar ln4 dan denk ik, ik kan het ook opschrijven als ln 2^2 en daardoor mag ik de exponent 2 buiten ln zetten en dan krijg ik hetzelfde antwoord namelijk 2 ln2.

Wat bedoel je eigenlijk met eerst de primitieve? Is primitief niet gewoon F(x) van f(x).

Ik heb het namelijk geleerd als volgt:

S f(x) dx = (F(x)) = F(a) - F(b) *S als symbool voor integraal

[arno]

Ik merk ook dat ik in het algemeen moeite heb met opgaven waar ln en e in voorkomen. Misschien dat jullie adviezen hierin voor mij hebben.

De functie is een functie die de eigenschap f'(x) = f(x) heeft. Dat maakt de exponentiële functie zo bijzonder. Voor vind je dan als afgeleide , en uit het gegeven dat ln x de afgeleide heeft vind je dat de afgeleide heeft.

Bij integreren zijn er regels net als bij differentieren(kettingregel etc.). Moet ik die ook kennen om soortgelijke opgaven te kunnen maken als hierboven?

Natuurlijk, anders zou je toch niet weten hoe je een bepaalde functie zou moeten integreren?

Wat bedoel je eigenlijk met eerst de primitieve? Is primitief niet gewoon F(x) van f(x).

Ik heb het namelijk geleerd als volgt:

.

Bedenk dat een functie f en de primitieve F samenhangen volgens F'(x) = f(x). Met behulp van deze definitie bepaal je bij een gegeven functie f de bijbehorende primitieve.

[SafeX]

Ik vroeg dit:

Laat zien dat -ln(1/2)=ln(2) ...

Wat bedoel je eigenlijk met eerst de primitieve? Is primitief niet gewoon F(x) van f(x).

Dit bedoel ik ... , daarna vul je de grenzen in gevolgd door de berekening.

[Kelvin24]

SafeX,

Ik heb het volgende gedaan:

ln 2 - ln 1/2 heb ik geschreven als ln 2 gedeeld door 1/2. Op basis daarvan heb ik de breuk opgelost door de de 1/2 om te draaien naar 2/1 en dit vermenigvuldigd met 2/1 (2 opgeschreven als een breuk). Ik krijg als antwoord 4. Ik heb de 4 vervolgens opgeschreven als 2^2 en in de logaritme regel mag ik de kwadraat buiten ln brengen waardoor ik 2 ln2 krijg.

Die opgave snap ik nu de andere drie nog.

[SafeX]

ln 2 - ln 1/2 heb ik geschreven als ln 2 gedeeld door 1/2.

Waarom is het te moeilijk te doen wat ik vraag?

Waarom schrijf je het bovenstaande in woorden ipv de formulevorm?

[Kelvin24]

Ik hoop dat dit beter te lezen is. Ik begrijp dat het erg lastig te lezen is, maar soms weet ik niet de teken die ik moet gebruiken om mijn uitwerking te laten zien.

[SafeX]

Ik hoop dat dit beter te lezen is. Ik begrijp dat het erg lastig te lezen is, maar soms weet ik niet de teken die ik moet gebruiken om mijn uitwerking te laten zien.

Ik geef je steeds de mogelijkheid de Latex-code te gebruiken.

Het bovenstaande was (in principe) duidelijk, maar dit is veel beter (nog niet goed!).
M'n vraag (nog) niet beantwoord ...