Driehoeksmeetkunde Moeilijk Bewijs

Dit forum is voor het voortgezetonderwijs (of 2de/3de graad ASO), als je in de bovenbouw zit. We gaan er vanuit dat je een Grafische Rekenmachine hebt.
Plaats reactie
WanhopigKind
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 09 jan 2019, 20:51

Driehoeksmeetkunde Moeilijk Bewijs

Bericht door WanhopigKind » 09 jan 2019, 21:28

Hallo iedereen!

Voor een opdracht voor school moeten wij een stelling bewijzen.
Afbeelding https://ibb.co/6gt25hN
Zoals jullie kunnen zien is dit een onderdeel van de Wiskunde B-dag 2015 Aan de Gang, nl. opgave 1
http://www.fisme.science.uu.nl/wisbdag/ ... ht2015.pdf
Mijn groepsgenoten en ik zitten al lang vast aan deze opdracht aangezien we geen ervaring hebben met het opstellen van bewijzen. In de opgave staat dat het niet echt nodig is op dit te bewijzen maar het is wel vereist voor onze school.
Indien iemand ons verder op weg kan helpen zouden wij dit erg appreciëren!

Alvast bedankt!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3136
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Driehoeksmeetkunde Moeilijk Bewijs

Bericht door arie » 10 jan 2019, 14:05

Afbeelding

Er zijn meerdere bewijzen mogelijk, hier een goniometrisch bewijs:

Neem P het midden van AB,
Q het midden van BC,
en d de lengte van de zijden van vierkant BQMP.

Toon aan dat voor de lengte van AC geldt: \(|AC| = d \cdot 2 \sqrt{2}\)

Definieer vervolgens \(\angle CMF = \gamma\), waarbij we weten: \(0^\circ < \gamma < 45^\circ\)
Dan is ook \(\angle EMA = \gamma\) (waarom?)

Verder geldt:

\(\cos(\angle EMP) = \cos(45^\circ + \gamma) = \frac{d}{|EM|}\)

\(\cos(\angle FMQ) = \cos(45^\circ - \gamma) = \frac{d}{|MF|}\)

Dus

\(|EF| = |EM| + |MF| = \frac{d}{\cos(45^\circ + \gamma)} + \frac{d}{\cos(45^\circ - \gamma)}\)

\(= d \cdot \left[ \frac{1}{\cos(45^\circ + \gamma)} + \frac{1}{\cos(45^\circ - \gamma)} \right] \)

\(= d \cdot \frac{\cos(45^\circ - \gamma)\;+\;\cos(45^\circ + \gamma)}{\cos(45^\circ - \gamma) \cdot \cos(45^\circ + \gamma)}\)

Nu moet je alleen nog aantonen dat deze laatste breuk groter is dan \(2\sqrt{2}\) voor alle geldige waarden van \(\gamma\),
want dan is \(|EF| > |AC|\)


Kom je zo verder?


Hint:
gebruik voor de teller:
\(\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) -\sin(\alpha) \sin(\beta)\)
en
\(\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) +\sin(\alpha) \sin(\beta)\)
en voor de noemer:
\(\cos(\alpha)\cos(\beta) = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha + \beta))\)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14231
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Driehoeksmeetkunde Moeilijk Bewijs

Bericht door SafeX » 10 jan 2019, 17:34

Tranlateer (verschuif) de zijde evenwijdig aan zichzelf naar C

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3136
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Driehoeksmeetkunde Moeilijk Bewijs

Bericht door arie » 16 jan 2019, 15:52

WanhopigKind schreef: ... volgens onze berekeningen komen we:
|EF| > |AC| ↔ d*2√2*cos γ/cos 2γ > d*2√2
Klopt dit ook volgens uw berekeningen?
Klopt,
en als \(0^\circ < \gamma < 45^\circ\)
dan is
\(0 < \cos(2\gamma)< \cos(\gamma) < 1\)
(bewijs dit zelf nog)
zodat
\(\frac{\cos(\gamma)}{\cos(2\gamma)}> 1\)
en dus ook
\(d\cdot 2\sqrt{2}\cdot \frac{\cos(\gamma)}{\cos(2\gamma)}> d \cdot 2\sqrt{2}\)


PS: kijk ook eens of het lukt via de voorzet van SafeX.

PPS: jullie mogen alle info verwerken en gebruiken

Plaats reactie