functies

Dit forum is voor het voortgezetonderwijs (of 2de/3de graad ASO), als je in de bovenbouw zit. We gaan er vanuit dat je een Grafische Rekenmachine hebt.
Plaats reactie
Steinbach
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 126
Lid geworden op: 22 okt 2017, 22:52

functies

Bericht door Steinbach » 01 aug 2019, 19:12

Beschouw de familie van functies met voorschrift \(f(x)=x^{3}+ax^{2}\) met \(a\, \epsilon \, \mathbb{R}\).

Al deze grafieken hebben een symmetriemiddelpunt \(P_{a}\) waarvan de x-coördinaat \(\frac{-a}{3}\) is.

Al deze symmetriemiddelpunten \(P_{a}\) vormen zelf een grafiek. Wat is de vergelijking van deze grafiek ?

Ik heb a gelijkgesteld aan de waarden 1 , 2, 3 , -1 , -2 , -3 en de (x,y) waarden berekend van al deze symmetriemiddelpunten.
Ik kreeg een grafiek die geleek op een derdemachtsfunctie \(g(x)=x^{3}\) maar dan gespiegeld t.o.v de Y-as en verticaal met een factor 2 uitgerokken t.o.v de X-as zodoende kwam ik tot de oplossing \(g(x)=2.(-x)^{3}\)

Ik heb de oplossing gevonden omdat ik een op het zicht herkenbare functie \(g(x)\) voor de symmetriemiddelpunten vond gewoon door deze punten te tekenen in een XY-assenstelsel.

Ik vraag me af of er een methode bestaat om uitgaande van een set coördinaten een functievoorschrift te berekenen ??
Is daar een methode voor of moet je zoals ik gewoon een functie proberen te herkennen ? Of bestaat er een computer programma voor of een wiskundige methode ?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3262
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: functies

Bericht door arie » 01 aug 2019, 20:39

Het kan ook direct:
Het gaat over functies gegeven door \(f(x)=x^{3}+ax^{2}\). Elke \(a\) definieert dus een eigen functie \(f_a(x)\).
Ook is gegeven dat de x-coördinaat symmetriemiddelpunt \(P_{a} = (x_p, y_p)\) van \(f_a(x)\) gelijk is aan \(x_p = \frac{-a}{3}\), ofwel: \(a = -3x_p\).

Omdat het symmetriemiddelpunt \(P_a\) op \(f_a(x)\) ligt, moet gelden:
\(y_p = x_p^3 + ax_p^2\)
Welk verband tussen \(y_p\) en \(x_p\) vind je nu als je bovenstaande 2 formules combineert?

Steinbach
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 126
Lid geworden op: 22 okt 2017, 22:52

Re: functies

Bericht door Steinbach » 01 aug 2019, 21:00

\(a=-3x_{p}\) (1)

\(y_{p}=x_{p}^{3}+ax_{p}^{2}\) (2)

(1) in (2) => \(y_{p}=x_{p}^{3}-3x_{p}^{3}\)

\(y_{p}=-2x_{p}^{3}\)

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3262
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: functies

Bericht door arie » 01 aug 2019, 21:32

Klopt, en dit is dus de relatie die we zochten voor de verzameling van alle symmetriepunten \(P_a = (x_p, y_p)\).
Merk op dat jij dit ook al gevonden had:
\(y = 2(-x)^3 = 2(-1\cdot x)^3 = 2(-1)^3(x)^3 = -2x^3\)

Voor je vraag over een grafiek door een aantal bekende punten:
die kan je bepalen als je een algemeen functievoorschrift hebt en een voldoende aantal punten.

Voorbeeld:
Je weet: \(y = ax^2 + bx + c\), met 3 onbekende constanten: a, b en c.
We hebben dan 3 punten nodig om het functievoorschrift te vinden, stel dit zijn de punten
\((0, 8 ), \; (1, 5)\) en \((5, 13)\).
Hiermee krijgen we een stelsel van 3 vergelijkingen met 3 onbekenden:

\(\left\{\begin{matrix}a\cdot 0^2 + b\cdot 0 + c & = & 8\\ a\cdot 1^2 + b\cdot 1 + c & = & 5\\ a\cdot 5^2 + b\cdot 5 + c & = & 13\end{matrix}\right.\)

ofwel

\(\left\{\begin{array}{rcl}c & = & 8\\ a+ b + c & = & 5\\ 25a+ 5b + c & = & 13\end{array}\right.\)

waaruit we a, b en c kunnen oplossen.

In het vraagstuk uit je eerste post gaat het om een 3e graads vergelijking
\(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\)
en hebben we 4 punten nodig om a, b, c en d te bepalen.
We moeten dan nog wel op een of andere manier bewijzen dat de kromme van symmetriepunten inderdaad een 3e graads functie vormt.

Steinbach
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 126
Lid geworden op: 22 okt 2017, 22:52

Re: functies

Bericht door Steinbach » 01 aug 2019, 22:21

Hartelijk dank arie.
Jouw uiteenzetting is heel duidelijk en helder !
Jouw methode vind ik wiskundiger veel beter.

Als ik het goed begrijp dan kan je geen functievoorschrift vinden als je niet weet
welke graad je te vinden functie heeft ?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3262
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: functies

Bericht door arie » 02 aug 2019, 09:23

Steinbach schreef: Jouw methode vind ik wiskundiger veel beter.
In dit geval wel omdat we dan ook meteen zeker zijn van het resultaat.
Maar onderschat de waarde van jouw methode niet, waarmee je ook op het juiste antwoord uitkwam. In de wiskunde worden met deze manier van werken veel boeiende resultaten bereikt, zoals
- het vermoeden van Fermat, dat een vermoeden bleef totdat het pas na ruim 3 eeuwen bewezen kon worden en nu de grote stelling van Fermat heet (https://nl.wikipedia.org/wiki/Laatste_s ... van_Fermat)
- de Riemann hypothese, nog steeds onbewezen (https://nl.wikipedia.org/wiki/Riemann-hypothese)

Steinbach schreef: Als ik het goed begrijp dan kan je geen functievoorschrift vinden als je niet weet welke graad je te vinden functie heeft ?
Niet alleen de graad van de functie, maar ook de vorm van de functie als geheel moet je weten: de functie hoeft geen veelterm te zijn, maar kan ook heel wat anders zijn.
Voorbeeld:
Stel we hebben de punten (-1, 1), (0, 0) en (1, 1)
Als je een 2e graads functie vermoedt: \(y = ax^2+bx+c\) dan kom je met deze 3 punten uit op \(y=x^2\)
Maar de werkelijke functie door deze 3 punten kan ook iets anders zijn, bijvoorbeeld:
- een 4e graads functie: \(y = x^4\)
- de absolute waarde van x: \(y=|x|\)
- een periodieke functie: \(y = \sin^2(\frac{\pi}{2}x)\)
etc.
Je zal met deze manier van werken dus altijd nog moeten bewijzen dat de functie die je zo gevonden hebt ook de werkelijke oplossing van je probleem is.

Steinbach
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 126
Lid geworden op: 22 okt 2017, 22:52

Re: functies

Bericht door Steinbach » 02 aug 2019, 13:19

arie schreef:
02 aug 2019, 09:23
Steinbach schreef: Jouw methode vind ik wiskundiger veel beter.
In dit geval wel omdat we dan ook meteen zeker zijn van het resultaat.
Maar onderschat de waarde van jouw methode niet, waarmee je ook op het juiste antwoord uitkwam. In de wiskunde worden met deze manier van werken veel boeiende resultaten bereikt, zoals
- het vermoeden van Fermat, dat een vermoeden bleef totdat het pas na ruim 3 eeuwen bewezen kon worden en nu de grote stelling van Fermat heet (https://nl.wikipedia.org/wiki/Laatste_s ... van_Fermat)
- de Riemann hypothese, nog steeds onbewezen (https://nl.wikipedia.org/wiki/Riemann-hypothese)
Beste arie ik heb jouw 2 linken ( Fermat , Riemann) gelezen. Lijkt me zeer boeiend !
Ik hoop ooit ook aan onopgeloste vraagstukken uit de wiskunde te werken.
Ik moet eerst nog veel studeren wat ik erg graag doe.
De Riemann Hypothese is reeds 160 jaar niet bewezen dus ik vermoed dat dit niet
zo maar op een namiddag op te lossen valt :)

Plaats reactie