Afgeleide

Melissa · Bericht door **Melissa** » 27 mei 2007, 13:47

Hallo!
Op dit moment ben ik bezig de afgeleide te berekenen van sqrt(3x+6).
Omdat ik er niet uitkwam, heb ik het op een site ingevoerd, waar ze dan stap voor stap laten zien wat je moet doen. Alleen... ik begrijp de eerste stap niet!

d/dx sqrt(3x+6)
Use the chain rule n u^n-1, where u=3x+6 and n=1/2
Mijn antwoord is dan; 1/2(3x+6)^-1/2
De site gaat verder met; 1/(2*sqrt(3x+6))

Ik ga ervan uit dat beiden hetzelfde is, maar kan iemand mij uitleggen waarom?

Bericht door **SafeX** » 27 mei 2007, 13:58

Melissa schreef:Hallo!
Op dit moment ben ik bezig de afgeleide te berekenen van sqrt(3x+6).
Omdat ik er niet uitkwam, heb ik het op een site ingevoerd, waar ze dan stap voor stap laten zien wat je moet doen. Alleen... ik begrijp de eerste stap niet!

d/dx sqrt(3x+6)
Use the chain rule n u^n-1, where u=3x+6 and n=1/2
Mijn antwoord is dan; 1/2(3x+6)^-1/2
De site gaat verder met; 1/(2*sqrt(3x+6))

Ik ga ervan uit dat beiden hetzelfde is, maar kan iemand mij uitleggen waarom?

Dit lijkt, meen ik, sterk op de opgave van de inverse functie? Is dat nog gelukt met het domein?

Het differentiëren (naar x) kan niet zonder de kettingregel. Dus moet je hier nog vermenigvuldigen met 3 vanwege de afgeleide van 3x+6 naar x.
Antwoord: $\frac{3}{2\sqrt{3x+6}}$

Melissa · Bericht door **Melissa** » 27 mei 2007, 14:14

Ja, het is een onderdeel van dezelfde opgave.

Domein weet ik niet... (0,oneindig)?

Kun je me uitleggen hoe ik van 1/2(3x+6)^-1/2 op 1/(2*sqrt(3x+6)) kan komen? Dat snap ik niet.

Thomas · Bericht door **Thomas** » 27 mei 2007, 14:16

Misschien helpt dit als je nog niet helemaal differentiëren met de kettingregel onder de knie hebt:

$y=\sqrt{3x+6}$
Je kan deze opdelen door eerst de uitkomst van $3x+6$ te bepalen en vervolgens de wortel te trekken:
$u=3x+6$ en vervolgens $y=\sqrt{u}$
Vervolgens differentieer je beide en vermenigvuldig je $u'$ met $y'$ .
Ikzelf schreef het altijd zo op: (een voorbeeld)
$[tex]$ y=(2x+3)^5

$u=2x+3$ $u'=2$

$y=(u)^5$ $y'=5\cdot u^4=5\cdot(2x+3)^4$
Vervolgens doe je $u'\cdot y'$ en krijg je:
$y'=2\cdot5\cdot(2x+3)^4=10\cdot(2x+3)^4$

Ik hoop dat dit van pas komt, probeer het maar eens toe te passen.

Bericht door **SafeX** » 27 mei 2007, 15:29

Melissa schreef:Ja, het is een onderdeel van dezelfde opgave.
Domein weet ik niet... (0,oneindig)?

Kun je me uitleggen hoe ik van 1/2(3x+6)^-1/2 op 1/(2*sqrt(3x+6)) kan komen? Dat snap ik niet.

De regel luidt: $a^{-p}=\frac{1}{a^p}$

Dus: $\frac{1}{2}(3x+6)^{-1/2}=\frac{1}{2}*\frac{1}{(3x+6)^{1/2}}=\frac{1}{2*...}$

Onthoud, (na zelf afleiden!) de volgende formule:
$f(x)=\sqrt{x}\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Bij inverse functie bepalen verwisselen y en x, dus ook domein en bereik.
Dus: domein(finv) = bereik(f) en ... .
Overigens dacht ik, dat in die opgave f(x) was: $f(x)=\frac{1}{\sqrt{3x+6}$

Melissa · Bericht door **Melissa** » 28 mei 2007, 12:40

Thomas, bedankt! Dat heeft erg geholpen!

SafeX, jij ook bedankt!
Ik kwam er niet uit, omdat ik de 1/2 alleen voor de noemer plaatste en niet voor de gehele breuk.

Dus, 1/(1/2*sqrt(3x+6))

In de opgave was f(x)= 2/sqrt(3x+6)
De eerste vraag was bepaal Df en Bf --> Df=(-2,oneindig), Bf=(0,oneindig) Df van de inverse is dus (o,oneindig), toch?
Tweede vraag, bepaal de inverse. Vorige topic.
Laatste vraag, bepaal de lineaire benadering p(x) van f(x) rond x=1.
p(x)=f(1)+f'(1)*(x-1)
f(1)=2/3

Nou wilde ik dus zo f'(x) bepalen;
u(x)/v(x)=(u'(x)v(x) - v'(x)u(x)) / (v(x))^2
Dit topic had ik geopend omdat ik niet uit v'(x) kwam. Dat weet ik nu!

Kunnen jullie me alleen nog helpen met het volgende?
Uiteindelijk kom ik op;
f'(x)= -(3/(2sqrt(3x+6)) * 2)/(qrt(3x+6)^2
Hiermee kan ik voor de lineare benadering wel f'(1) bepalen, maar het programma laat f'(x)=-3/(3x+6)^3/2 zien.
Hoe kom ik van mijn antwoord op het antwoord van het programma?

Melissa · Bericht door **Melissa** » 28 mei 2007, 13:01

Pff.. weer iets!

Lineare benadering
p(x)= 2/3 - 1/9*(x-1)= 2/3 - (1/9)x + 1/9 = -(1/9)x + 7/9
Het moet zijn;
p(x)= 2/3 - 1/9*(x-1)= 2/3 - (1/9)x - 1/9 = -(1/9)x + 5/9

Ik dacht dat -1/9 * -1 = + 1/9... Waarom is dat niet zo? - - is toch + ?

boZZy · Bericht door **boZZy** » 28 mei 2007, 17:41

Melissa schreef:Pff.. weer iets!

Lineare benadering
p(x)= 2/3 - 1/9*(x-1)= 2/3 - (1/9)x + 1/9 = -(1/9)x + 7/9
Het moet zijn;
p(x)= 2/3 - 1/9*(x-1)= 2/3 - (1/9)x - 1/9 = -(1/9)x + 5/9

Ik dacht dat -1/9 * -1 = + 1/9... Waarom is dat niet zo? - - is toch + ?

Ja zeker.
De fout zit in de verbetering zelf, of in je startpunt.

Bericht door **SafeX** » 31 mei 2007, 11:19

Melissa schreef:Thomas, bedankt! Dat heeft erg geholpen!

SafeX, jij ook bedankt!
Ik kwam er niet uit, omdat ik de 1/2 alleen voor de noemer plaatste en niet voor de gehele breuk.
Dus, 1/(1/2*sqrt(3x+6))

In de opgave was f(x)= 2/sqrt(3x+6)
De eerste vraag was bepaal Df en Bf --> Df=(-2,oneindig), Bf=(0,oneindig) Df van de inverse is dus (o,oneindig), toch?
Tweede vraag, bepaal de inverse. Vorige topic.
Laatste vraag, bepaal de lineaire benadering p(x) van f(x) rond x=1.
p(x)=f(1)+f'(1)*(x-1)
f(1)=2/3

Nou wilde ik dus zo f'(x) bepalen;
u(x)/v(x)=(u'(x)v(x) - v'(x)u(x)) / (v(x))^2
Dit topic had ik geopend omdat ik niet uit v'(x) kwam. Dat weet ik nu!

Kunnen jullie me alleen nog helpen met het volgende?
Uiteindelijk kom ik op;
f'(x)= -(3/(2sqrt(3x+6)) * 2)/(qrt(3x+6)^2
Hiermee kan ik voor de lineare benadering wel f'(1) bepalen, maar het programma laat f'(x)=-3/(3x+6)^3/2 zien.
Hoe kom ik van mijn antwoord op het antwoord van het programma?

Met enige moeite dit weer gevonden!

Allereerst: het domein van je inverse functie is (0,->), dus OK!

Verder: $f(x)=\frac{2}{\sqrt{3x+6}}=2(3x+6)^{-1/2}$
$f'(x)=2*-1/2(3x+6)^{-1/2-1}*3=-3(3x+6)^{-3/2}=\frac{-3}{(3x+6)^{3/2}$
Dus f'(1)=-1/9 en de lineaire benadering p(x)=-1/9x+7/9 (dat heb je zelf gevonden! OK)

Vraagje: Maak je ook wel grafiekjes?
Dan had je bv kunnen 'zien' dat p(x) goed is!
Op internet zijn diverse prog's te vinden. En met je GR is ook het een en ander mogelijk.

Wiskundeforum

Afgeleide

Afgeleide

Re: Afgeleide