Limiet goniometrische functies

sebuts · Bericht door **sebuts** » 12 feb 2014, 20:55

Gegeven:

$\lim_{x \to 0} \frac{sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{sin 3x}{3x} * 3$
Stel y = 3x, levert: $3 * \lim_{y \to 0} \frac{sin y}{y} = 3 * 1 = 3$

Nu wordt gevraagd:
$\lim_{x \to 0} \frac{x}{sin 2x}$ , als ik een beetje afkijk bij het voorbeeld, kom ik al vrij snel tot de volgende uitwerking:

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{sin 2x} * \frac{1}{2}$
Stel nu y = 2x, levert: $\frac{1}{2} * \lim_{y \to 0} \frac{y}{ sin y} = \frac{1}{2} * 1 = \frac{1}{2}$ .

Dit is allemaal leuk en aardig, maar eerlijk gezegd begrijp ik niet waarom het voorbeeld zo is en dus ook niet waarom ik het zo op kan lossen. Wat extra uitleg of pointers zou fijn zijn

Bericht door **SafeX** » 12 feb 2014, 21:00

Wat vind je niet te volgen ...

sebuts · Bericht door **sebuts** » 13 feb 2014, 08:06

Waar die factors vandaan komen, in het eerste voorbeeld de 3 en in de de 1/2. Wat rechtvaardigt dit? Ik kan het nu wel repliceren, op goed geluk, maar dat schiet niet op

Bericht door **SafeX** » 13 feb 2014, 11:28

sebuts schreef:Gegeven:

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{sin 2x} = ...$

Ok, stel 2x=y ... , hoe gaat de limiet er uit zien?

sebuts · Bericht door **sebuts** » 13 feb 2014, 16:31

Ik vat 'em

Stel y = 2x, dan $\lim_{y \to 0} \frac{y/2}{sin y} = \lim_{ y \to 0 }\frac{2 sin y}{ y} = 2$

Bericht door **SafeX** » 13 feb 2014, 17:08

sebuts schreef:
Stel y = 2x, dan $\lim_{y \to 0} \frac{y/2}{sin y} = \lim_{ y \to 0 }\frac{2 sin y}{ y} = 2$

Dat is niet goed! Je mag niet 'zomaar' een breuk omdraaien ...

sebuts · Bericht door **sebuts** » 13 feb 2014, 17:59

He oh ja stom van me, het is natuurlijk:

$\lim_{y \to 0} \frac{y}{2 sin y} = lim_{y \to 0} \frac{y}{sin y} * \frac{1}{2}= \frac{1}{2}$

Klopt deze uitwerking dan ook: $\lim_{ x \to 0} \frac{x^2}{sin x tan 3x}$
$\lim_{x \to 0} \frac{x}{sin x}\frac{x}{\frac{sin 3x}{cos 3x}}$
$\lim_{x \to 0} \frac{x}{sin x}\frac{x cos 3x}{sin 3x}$
$\lim_{x \to 0} \frac{x}{sin x}\frac{x}{sin 3x} cos 3x$
$\lim_{x \to 0} 1 \frac{x}{sin 3x} 1$
$\lim_{x \to 0} 1 \frac{1}{3} 1 = \frac{1}{3}$

Bericht door **SafeX** » 14 feb 2014, 11:21

sebuts schreef:
$\lim_{y \to 0} \frac{y}{2 sin y} = lim_{y \to 0} \frac{y}{sin y} * \frac{1}{2}= \frac{1}{2}$

Ok!

$\lim_{x \to 0} 1 \frac{x}{sin 3x} 1$

Welke stelling(en) pas je hier toe ...

sebuts · Bericht door **sebuts** » 14 feb 2014, 13:36

Een variatie op de standaard limiet: $\lim_{x \to 0} \frac{x}{sin x} = 1$ .

Voor $\lim_{x \to 0} cos 3x = 1$ , naja cos 0 = 1, dus als x 0 benadert, zal cos 3x 1 benaderen, was m'n gedachte.

42ste bericht, dus dit moet toch haast wel correct zijn

Bericht door **SafeX** » 15 feb 2014, 12:57

De limiet is goed!
De stelling die je toepast is: de limiet van een product is gelijk aan het product van de limieten als deze bestaan.
Ga dat na ...

Wiskundeforum

Limiet goniometrische functies

Limiet goniometrische functies

Re: Limiet goniometrische functies

Re: Limiet goniometrische functies

Re: Limiet goniometrische functies

Re: Limiet goniometrische functies

Re: Limiet goniometrische functies

Re: Limiet goniometrische functies

Re: Limiet goniometrische functies

Re: Limiet goniometrische functies

Re: Limiet goniometrische functies