Kansberekening

[Coach]

Hallo, ik geef al enkele jaren bijles aan studenten die het wat moeilijker hebben met wiskunde.
Deze voormiddag ging het over kansen en probeerde ik samen met de student volgende oefening op te lossen:

Opgave:
We trekken 4 kaarten uit een kaartspel van 52 kaarten, zonder teruglegging. Bereken de kans dat:
a) het twee azen en twee boeren zijn?

Misschien moeten jullie dit eerst eens oplossen alvorens verder te lezen!


Oplossing volgens het boek en de leerkracht:

Combinaties:
# gunstige uitkomsten:
2 Azen uit 4 = = 6
2 Boeren uit 4 = = 6
Productregel: 6*6 = 36 gunstige combinaties

# mogelijke uitkomsten:
4 kaarten uit 52 kaarten = = 270725

Formule van laplace: P(2*A,2*B) = 36/270725

Is er hier niet iets fundamenteel fout mee?
De formule van laplace kan enkel toegepast worden bij een uniforme kansverdeling,
dit is bij het gebruik van combinaties niet het geval.
Even verduidelijken:

AAAA - 1 combinatie - 12 variaties - 1/12
AAAK - 1 combinatie - 96 variaties - 1/96
AAKK - 1 combinatie - 144 variaties - 1/144
AAKQ - 1 combinatie - 192 variaties - 1/192
AKQJ - 1 combinatie - 256 variaties - 1/256

De mogelijke uitkomst AAAA zal dus veel zwaarder doortellen als de kansformule gebruikt wordt met combinaties dan met variaties.
Dit was mijn oplossing:

Variaties:

P(2*A,2*B) = = 864/6497400


Of intuïtief:

Mogenlijkheden om 2*A, 2*B te trekken:

AABB - kans: (4/52)*(3/51)*(4/50)*(3/49) = 144/6497400
BBAA - kans: (4/52)*(3/51)*(4/50)*(3/49) = 144/6497400
ABAB - kans: (4/52)*(4/51)*(3/50)*(3/49) = 144/6497400
ABBA - kans: (4/52)*(4/51)*(3/50)*(3/49) = 144/6497400
BAAB - kans: (4/52)*(4/51)*(3/50)*(3/49) = 144/6497400
BABA - kans: (4/52)*(4/51)*(3/50)*(3/49) = 144/6497400

P(2*A,2*B) = 6*(144/6497400) = 864/6497400

Ok, de verschil tussen beide uitkomsten lijkt hier ("toevallig") niet groot,
maar fundamenteel lijkt me dat hun redenering met combinaties niet opgaat.

Hoe zit dit nu? Wat is de correcte uitkomst?
Is dit een redeneerfout in het boek en van de leraar of maak ik ergens een redeneerfout?
Is dit een soms een fout die algemeen aanvaard wordt omdat oefeningen met combinaties vaak eenvoudiger op te lossen zijn (en de fout vaak niet al te groot zal zijn)? (en ook niet vermeld wordt in het middelbaar/hoger?)
Kan het zijn dat je voor kansen dan nooit combinaties mag gebruiken wegens voorgaande?

Mijn student was dan ook danig in de war als ik begon te filosoferen :p
hoe moet ik het hem nu aanleren?

Ik ben benieuwd naar de reacties!

[arie]

Formule van laplace: P(2*A,2*B) = 36/270725
Is er hier niet iets fundamenteel fout mee?
De formule van laplace kan enkel toegepast worden bij een uniforme kansverdeling,
dit is bij het gebruik van combinaties niet het geval.

De kansverdeling is wel uniform:
Alle viertallen kaarten hebben dezelfde kans om getrokken te worden, bijvoorbeeld:
de kans op {harten-aas, schoppen-aas, ruiten-boer, harten-koning}
is even groot als
de kans op {harten-aas, schoppen-aas, ruiten-aas, klaveren-aas}
namelijk:
- volgorde WEL van belang: 1 / (52*51*50*49)
- volgorde NIET van belang: 1 / ((52*51*50*49)/4!)
(in het eerste geval tellen we alle mogelijke rijen van 4 kaarten, in het tweede geval delen we dat aantal door het aantal mogelijkheden om die 4 kaarten onderling op een rij te zetten = 4! )

= 864/6497400

Ten eerste: 36 / 270725 = 864 / 6497400

Ten tweede (in jouw notatie):










Bij combinaties kijken we naar alle mogelijkheden waarbij de volgorde NIET van belang is.
Dit gebeurt zowel bij de trekking van de azen als de boeren, als het totaal aantal mogelijke trekkingen (4 uit 52).
Het antwoord is dan (het aantal gunstige trekkingen) / (het totaal aantal mogelijke trekkingen).

Jij gaat met variaties alle mogelijke volgordes af, bepaalt van elke mogelijke volgorde de kans, en berekent tenslotte daarvan het totaal ten opzichte van alle mogelijke volgordes 4 uit 52 (dit aantal variaties = 52*51*50*49).
Dit kan ook, maar is wat omslachtiger.
Beide methodes berekenen de kans op trekken van 2 azen en 2 boeren, waarbij de volgorde niet van belang is.