Dag iedereen
Onlangs kreeg ik onderstaande opgave. Na heel wat uren rekenwerk, ben ik nog geen stap verder. Kan iemand mij verder helpen?
Opgave:
er is precies 1 veelterm van de vorm
waarbij elementen zijn van en waarvoor geldt dat
Bepaal algebraïsch C(8).
Ik weet dat het antwoord logisch gezien is, maar hoe kom je hieraan?
Alvast vriendelijk bedankt!
Problem solving veeltermen
Re: Problem solving veeltermen
Gegeven
waarbij voor x = 1 t/m 7:
dus voor x = 1 t/m 7 geldt:
ofwel voor x = 1 t/m 7:
ofwel: x = 1 t/m 7 zijn precies de nulpunten van de veelterm
waarbij
Doordat x = 1 t/m 7 de nulpunten zijn van D(x), kunnen we D(x) dus ook schrijven als:
Toon nu eerst aan dat D(x) puntsymmetrisch is ten opzichte van x = 4:
D(4+p) = -D(4-p)
(vul daarvoor in D(x) eerst (4+p) in voor x, vergelijk dat met wat je krijgt als je (4-p) invult voor x in D(x))
Dus ook voor p = 4:
D(8) = D(4+4) = -D(4-4) = -D(0)
Kan je D(0) bepalen?
Wat is dan D(8)?
En wat is dan C(8)?
NOOT: C(8) is NIET gelijk aan 8^7
waarbij voor x = 1 t/m 7:
dus voor x = 1 t/m 7 geldt:
ofwel voor x = 1 t/m 7:
ofwel: x = 1 t/m 7 zijn precies de nulpunten van de veelterm
waarbij
Doordat x = 1 t/m 7 de nulpunten zijn van D(x), kunnen we D(x) dus ook schrijven als:
Toon nu eerst aan dat D(x) puntsymmetrisch is ten opzichte van x = 4:
D(4+p) = -D(4-p)
(vul daarvoor in D(x) eerst (4+p) in voor x, vergelijk dat met wat je krijgt als je (4-p) invult voor x in D(x))
Dus ook voor p = 4:
D(8) = D(4+4) = -D(4-4) = -D(0)
Kan je D(0) bepalen?
Wat is dan D(8)?
En wat is dan C(8)?
NOOT: C(8) is NIET gelijk aan 8^7
Re: Problem solving veeltermen
Mooie, korte oplossing!
Re: Problem solving veeltermen
Heel erg bedankt voor de duidelijke uitleg, ondertussen heb ik de oplossing gevonden!
Re: Problem solving veeltermen
Mooi!
Maar heb je het ook begrepen?
Wat heb je nu allemaal gedaan, waarin verschilt dat met je eerste aanpak?
Bv Waarom is C met de gegevens volledig bepaald?
Hoe kom je er toe om functie D te bekijken ...
Waarom is D symmetrisch i x=4?
Waarom kan C(8) niet gelijk zijn aan 8^7?
Je hoeft deze vragen (natuurlijk) niet te beantwoorden, maar bedenk iig dat er meer mensen meekijken voor wie niet alles direct duidelijk is.
Maar heb je het ook begrepen?
Wat heb je nu allemaal gedaan, waarin verschilt dat met je eerste aanpak?
Bv Waarom is C met de gegevens volledig bepaald?
Hoe kom je er toe om functie D te bekijken ...
Waarom is D symmetrisch i x=4?
Waarom kan C(8) niet gelijk zijn aan 8^7?
Je hoeft deze vragen (natuurlijk) niet te beantwoorden, maar bedenk iig dat er meer mensen meekijken voor wie niet alles direct duidelijk is.
Re: Problem solving veeltermen
Nu ik nog eens kijk: de puntsymmetrie hebben we niet nodig.
Direct D(8) uit
bepalen is natuurlijk ook heel erg eenvoudig...
Direct D(8) uit
bepalen is natuurlijk ook heel erg eenvoudig...
Re: Problem solving veeltermen
Een andere methode is door 7x^7 af te trekken zodat je een 6-de graads veelterm overhoudt. Het zevende verschil van een 6-de graads polynoom is 0, maar voor deze polynoom ook C(8) - K, voor een K.
Je kan het 7e verschil op meerdere manieren bepalen. Hier een ander voorbeeld.
Stel, we hebben een functie f(x) met verschillende paren (x, y); (1, a), (2, b), (3, c), (4, d)
De eerste verschillen zijn dan
(b - a), (c - b), (d - c)
De tweede verschillen zijn dan
((1c - 1b) - (1b - 1a)) = 1c - 2 * b + 1a, ((1d - 1c) - (1c - 1b)) = 1d - 2c + 1b
Het derde verschil is dan:
1d - 2c + 1b - (1c - 2 * b + 1a) = 1d - 3c + 3b - 1a
De getallen heb ik ervoor gelaten zodat hopelijk sneller te zien is dat zo de driehoek van pascal terugkomt.
Je kan dan voor het n-de verschil vinden dat dat is, met x de laagste waarde waarvoor je f(x) gebruikt om het verschil te bepalen.
Deze methode vraagt wat meer rekenwerk, maar zo is dan met het werk van arie aan te tonen dat bijvoorbeeld
Je kan het 7e verschil op meerdere manieren bepalen. Hier een ander voorbeeld.
Stel, we hebben een functie f(x) met verschillende paren (x, y); (1, a), (2, b), (3, c), (4, d)
De eerste verschillen zijn dan
(b - a), (c - b), (d - c)
De tweede verschillen zijn dan
((1c - 1b) - (1b - 1a)) = 1c - 2 * b + 1a, ((1d - 1c) - (1c - 1b)) = 1d - 2c + 1b
Het derde verschil is dan:
1d - 2c + 1b - (1c - 2 * b + 1a) = 1d - 3c + 3b - 1a
De getallen heb ik ervoor gelaten zodat hopelijk sneller te zien is dat zo de driehoek van pascal terugkomt.
Je kan dan voor het n-de verschil vinden dat dat is, met x de laagste waarde waarvoor je f(x) gebruikt om het verschil te bepalen.
Deze methode vraagt wat meer rekenwerk, maar zo is dan met het werk van arie aan te tonen dat bijvoorbeeld
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)