Problem solving veeltermen

Dit forum is voor het voortgezetonderwijs (of 2de/3de graad ASO), als je in de bovenbouw zit. We gaan er vanuit dat je een Grafische Rekenmachine hebt.
Plaats reactie
xChaos
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 06 okt 2014, 17:21

Problem solving veeltermen

Bericht door xChaos » 06 okt 2014, 20:08

Dag iedereen

Onlangs kreeg ik onderstaande opgave. Na heel wat uren rekenwerk, ben ik nog geen stap verder. Kan iemand mij verder helpen?

Opgave:

er is precies 1 veelterm van de vorm


waarbij elementen zijn van en waarvoor geldt dat

Bepaal algebraïsch C(8).

Ik weet dat het antwoord logisch gezien is, maar hoe kom je hieraan?

Alvast vriendelijk bedankt!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Problem solving veeltermen

Bericht door arie » 07 okt 2014, 08:54

Gegeven



waarbij voor x = 1 t/m 7:



dus voor x = 1 t/m 7 geldt:



ofwel voor x = 1 t/m 7:



ofwel: x = 1 t/m 7 zijn precies de nulpunten van de veelterm



waarbij



Doordat x = 1 t/m 7 de nulpunten zijn van D(x), kunnen we D(x) dus ook schrijven als:



Toon nu eerst aan dat D(x) puntsymmetrisch is ten opzichte van x = 4:
D(4+p) = -D(4-p)
(vul daarvoor in D(x) eerst (4+p) in voor x, vergelijk dat met wat je krijgt als je (4-p) invult voor x in D(x))

Dus ook voor p = 4:
D(8) = D(4+4) = -D(4-4) = -D(0)

Kan je D(0) bepalen?
Wat is dan D(8)?
En wat is dan C(8)?

NOOT: C(8) is NIET gelijk aan 8^7

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Problem solving veeltermen

Bericht door SafeX » 07 okt 2014, 09:28

Mooie, korte oplossing!

xChaos
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 06 okt 2014, 17:21

Re: Problem solving veeltermen

Bericht door xChaos » 07 okt 2014, 17:38

Heel erg bedankt voor de duidelijke uitleg, ondertussen heb ik de oplossing gevonden!

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Problem solving veeltermen

Bericht door SafeX » 08 okt 2014, 08:48

Mooi!
Maar heb je het ook begrepen?

Wat heb je nu allemaal gedaan, waarin verschilt dat met je eerste aanpak?
Bv Waarom is C met de gegevens volledig bepaald?
Hoe kom je er toe om functie D te bekijken ...
Waarom is D symmetrisch i x=4?
Waarom kan C(8) niet gelijk zijn aan 8^7?

Je hoeft deze vragen (natuurlijk) niet te beantwoorden, maar bedenk iig dat er meer mensen meekijken voor wie niet alles direct duidelijk is.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Problem solving veeltermen

Bericht door arie » 08 okt 2014, 10:18

Nu ik nog eens kijk: de puntsymmetrie hebben we niet nodig.

Direct D(8) uit



bepalen is natuurlijk ook heel erg eenvoudig...

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Problem solving veeltermen

Bericht door David » 08 okt 2014, 14:34

Een andere methode is door 7x^7 af te trekken zodat je een 6-de graads veelterm overhoudt. Het zevende verschil van een 6-de graads polynoom is 0, maar voor deze polynoom ook C(8) - K, voor een K.
Je kan het 7e verschil op meerdere manieren bepalen. Hier een ander voorbeeld.
Stel, we hebben een functie f(x) met verschillende paren (x, y); (1, a), (2, b), (3, c), (4, d)
De eerste verschillen zijn dan
(b - a), (c - b), (d - c)
De tweede verschillen zijn dan
((1c - 1b) - (1b - 1a)) = 1c - 2 * b + 1a, ((1d - 1c) - (1c - 1b)) = 1d - 2c + 1b
Het derde verschil is dan:
1d - 2c + 1b - (1c - 2 * b + 1a) = 1d - 3c + 3b - 1a

De getallen heb ik ervoor gelaten zodat hopelijk sneller te zien is dat zo de driehoek van pascal terugkomt.
Je kan dan voor het n-de verschil vinden dat dat is, met x de laagste waarde waarvoor je f(x) gebruikt om het verschil te bepalen.

Deze methode vraagt wat meer rekenwerk, maar zo is dan met het werk van arie aan te tonen dat bijvoorbeeld
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Plaats reactie