Goniometrie somformule

[jordiveen]

Beste wiskundeforum,

Ik loop vast op het volgende vraagstuk:

Toon aan dat sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x). Gebruik sin(3x) = sin(2x+x) en de somformule voor de sinus.

Bij voorbaat bedankt.

[arie]

Wat is je resultaat als je de somformule voor sinus toepast op
sin(3x) = sin(2x + x) = ....

[jordiveen]

sin(2x) x cos(x) + cos(2x) x sin(x)

[arie]

Je laatste 'plus' moet ook een 'maal' zijn.
Omdat we ook al met x als hoek werken, gebruik ik hier even het sterretje voor vermenigvuldigen.
We hebben nu dus:

sin(2x) * cos(x) + cos(2x) * sin(x)

Ken je ook formules voor
sin(2x) = ...
en voor
cos(2x) = ... ?

[jordiveen]

Was een typfoutje

sin(2x) = 2sin(x) * cos(x)
cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)

[arie]

Juist, en wat krijg je als je die 2 formules substitueert in:

sin(3x) = sin(2x) * cos(x) + cos(2x) * sin(x)

(dus we gaan sin(2x) en cos(2x) uit deze formule wegwerken)

[jordiveen]

(2sin(x) * cos(x)) * cos(x) + (1 - 2sin^2(x)) * sin(x)

[arie]

Mooi, we zijn nu dus van alle dubbele hoeken af.
Die cos(x) * cos(x) kunnen we schrijven als cos^2(x), we houden over:

sin(3x) = 2 * sin(x) * cos^2(x) + (1 - 2 sin^2(x)) * sin(x)

Nu moeten we ook nog toe naar een formule met alleen maar sinus-functies.
Weet je een manier om die cos^2(x) te herschrijven met sinussen:

cos^2(x) = ....

Dat resultaat gaan we daarna invullen in

sin(3x) = 2 * sin(x) * cos^2(x) + (1 - 2 sin^2(x)) * sin(x)

[jordiveen]

cos^2(x)= 1 - sin^2(x) (sin^2(x) + cos^2(x) = 1)

moet je de: (2sin(x) * cos(x)) * cos(x) niet op deze manier met elkaar vermenigvuldigen?
2sin(x)cos(x) * cos^2(x)

[arie]

cos^2(x)= 1 - sin^2(x)

Klopt

moet je de: (2sin(x) * cos(x)) * cos(x) niet op deze manier met elkaar vermenigvuldigen?
2sin(x)cos(x) * cos^2(x)

Er staat
(2 * sin(x) * cos(x)) * cos(x)
Bij vermenigvuldiging kan je de haken weglaten:
(2 * sin(x) * cos(x)) * cos(x) = 2 * sin(x) * cos(x) * cos(x)
en dit is
(2 * sin(x) * cos(x)) * cos(x) = 2 * sin(x) * cos(x) * cos(x) = 2 * sin(x) * cos^2(x)

vergelijk dit met
(2 * a * b) * b = 2 * a * b^2
of met
(2 * 5 * 8 ) * 8 = 2 * 5 * 8 * 8


We hebben dus:
sin(3x) = 2 * sin(x) * cos^2(x) + (1 - 2 sin^2(x)) * sin(x)

Substitueer nu je resultaat
cos^2(x) = 1 - sin^2(x)
daarin, en werk alle haakjes weg.

[jordiveen]

2sin(x) * (1 - 2 sin^2) + (1 - 2sin^2(x)) * sin(x)
2sin(x) - 2sin^3(x) + sin(x) - 2sin^3(x)
3sin(x) - 4sin^3(x)

Hartelijk dank!!

[arie]

Prima!

De strategie in dit soort opgaven is dus:
"Kijk wat we hebben en waar we naar toe moeten."
In ons probleem moesten we van sin(3x) naar een uitdrukking met alleen maar sin(x) erin.
Daarom hebben we eerst alle 3-voudige (3x) en dubbele (2x) hoeken weggewerkt.
We kwamen toen uit op een formule met alleen sin(x) en cos(x) erin.
Daaruit hebben cos(x) verwijderd via de formule
cos^2(x) + sin^2(x) = 1
De rest was haakjes wegwerken, en klaar.

PS: waarschijnlijk weer een tik- of snelheidsfoutje:
2sin(x) * (1 - 2 sin^2) + (1 - 2sin^2(x)) * sin(x)
moet zijn
2sin(x) * (1 - sin^2(x)) + (1 - 2sin^2(x)) * sin(x)