Gebroken exponenten: Schrijf als macht van 3

jonie · Bericht door **jonie** » 26 feb 2015, 01:10

Hoi beste mensen,

Ik krijg bijles op het HBO met het boekje: "HTO Basisvaardigheden Wiskunde". In hoofdstuk 2 "Machten" kom ik bij paragraaf 2.3 bij "Gebroken exponenten" en bij opgave 9 moet ik een getal/waarde omzetten in een macht van 3.

De rekenregels:
1: $a^{p} \cdot a^{q} = a^{p+q}$
2: $(a^{p})^{q} = a^{p \cdot q}$
3: $(a \cdot b)^{p} = a^{p} \cdot b^{p}$

4: $\frac{a^{p}}{a^{q}} = a^{p-q}$
5: $a^{0} = 1$
6: $\frac{1}{a^{p}} = a^{-p}$

7: $\sqrt[q]{a} = a^{\frac{1}{q}}$

Om te laten zien wat ik beheers zal ik een aantal vorige vragen met de bijbehorende stappen oplossen.

Vraag b:
Gegeven: $\frac{1}{3^2}$
Hierbij gebruik ik RR6: $\frac{1}{3^2}$ wordt dus $3^{-2}$

Vraag c:
Gegeven: $\sqrt{3}$
Hierbij gebruik ik RR7: $\sqrt{3}$ in een gebroken exponent is dus: $3^{\frac{1}{2}}$

Vraag d:
Gegeven: $3\sqrt{3}$
Hierbij gebruik ik het antwoord op de vorige vraag en vermenigvuldig ik met 3: $3^{\frac{1}{2}} \cdot 3$ . Oftewel $3^{1\frac{1}{2}}$

Vraag f:
Gegeven: $\sqrt{27}$
Eerst heb ik deze omgezet in een gebroken exponent: $\sqrt{27} = (3^{3})^{\frac{1}{2}}$
Wat ik van RR3 heb geleerd: $3^{3 \cdot \frac{1}{2}} = 3^{1\frac{1}{2}}$

Als ik de sommetjes hierboven goed heb gedaan kan iemand mij dan vertellen hoe ik met de volgende vraag om moet gaan?
Vraag g:
Gegeven: $\frac{81}{\sqrt{27}}$

Alvast bedankt!
jonie

Bericht door **SafeX** » 26 feb 2015, 09:46

jonie schreef:Als ik de sommetjes hierboven goed heb gedaan kan iemand mij dan vertellen hoe ik met de volgende vraag om moet gaan?
Vraag g:
Gegeven: $\frac{81}{\sqrt{27}}$

Het gaat heel goed ...

Schrijf 81 als macht van 3, dus: 81=3^(...)
De noemer heb je al als macht van 3 geschreven ... , welke RR kan je dan toepassen?

jonie · Bericht door **jonie** » 26 feb 2015, 11:26

SafeX schreef: Het gaat heel goed ...

Schrijf 81 als macht van 3, dus: 81=3^(...)
De noemer heb je al als macht van 3 geschreven ... , welke RR kan je dan toepassen?

Oké misschien keek ik er te moeilijk naar... Laat me eens kijken.

$81 = 3^{4}$
$\sqrt{27}$ weten we nog van de vorige vraag en dat is $3^{1\frac{1}{2}}$

Wat we over houden: $\frac{3^{4}}{3^{1\frac{1}{2}}}$

Nu kan ik meteen zien welke RR ik daar voor moet toepassen en dat is natuurlijk numero 4:
$\frac{a^{p}}{a^q} = a^{p-q}$

ingevuld: $3^{4-1\frac{1}{2}}$

Dan denk dat ik op het goede antwoord ben gekomen: $3^{2\frac{1}{2}}$

Bericht door **SafeX** » 26 feb 2015, 12:09

Prima!

Kende je de formulering: ... schrijven als macht van ... bv 81 schrijven als macht van 3, dus 3^4.

jonie · Bericht door **jonie** » 26 feb 2015, 12:18

SafeX schreef:Prima!

Kende je de formulering: ... schrijven als macht van ... bv 81 schrijven als macht van 3, dus 3^4.

In ieder geval de vraag "Schrijf als macht van.." kende ik nog niet. Wel dat als je 81 in een macht van 3 zet dat dat 3^4 is.

Bedankt voor het zetje!

Bericht door **SafeX** » 26 feb 2015, 12:53

Mooi, kan je nu de uitkomst ook als 'gewoon' getal schrijven, dus zonder exponent ...

jonie · Bericht door **jonie** » 26 feb 2015, 13:36

SafeX schreef:Mooi, kan je nu de uitkomst ook als 'gewoon' getal schrijven, dus zonder exponent ...

Misschien..
Met RR7:

$3^{2\frac{1}{2}} = 3^{\frac{5}{2}} = \sqrt{3^{5}} = \sqrt{243}$

Uitkomst hiervan is geen mooi getal: 15,58845...

jonie · Bericht door **jonie** » 26 feb 2015, 15:13

De laatste vraag van opgave 9: Schrijf als macht van 3.
Hier wordt gegeven: $\frac{3^{a} + 3^{a} + 3^{a}}{9}$

De grondgetallen zijn gelijk dus die kan ik dan toch optellen?
Dus: $\frac{9^{a}}{9}$

Maar dan?

Bericht door **SafeX** » 26 feb 2015, 17:04

jonie schreef:De laatste vraag van opgave 9: Schrijf als macht van 3.
Hier wordt gegeven: $\frac{3^{a} + 3^{a} + 3^{a}}{9}$

De grondgetallen zijn gelijk dus die kan ik dan toch optellen?

De grondgetallen zijn gelijk dus die kan ik dan toch optellen?

Volgens welke RR ... (lees nog eens goed: het is grondtal en niet grondgetal)
Je kan wel schrijven (denk daarbij aan b+b+b= ...) ...

Bericht door **SafeX** » 26 feb 2015, 17:07

jonie schreef:
SafeX schreef:Mooi, kan je nu de uitkomst ook als 'gewoon' getal schrijven, dus zonder exponent ...
Misschien..
Met RR7:

$3^{2\frac{1}{2}} = 3^{\frac{5}{2}} = \sqrt{3^{5}} = \sqrt{243}$

Uitkomst hiervan is geen mooi getal: 15,58845...

Dit is goed, maar als je nu de eis stelt dat het 'wortelgetal' zo klein mogelijk is ...

Denk bv ook eens aan:

$\sqrt{8}=...$

jonie · Bericht door **jonie** » 27 feb 2015, 16:58

SafeX schreef:
Dit is goed, maar als je nu de eis stelt dat het 'wortelgetal' zo klein mogelijk is ...

Denk bv ook eens aan:

$\sqrt{8}=...$

Een wortel herleiden is blijkbaar nieuw voor me maar volgens mij snap ik het wel een beetje.
Bij $\sqrt{8}$ :
Het grootst mogelijk vierkantsgetal waar we het getal onder wortel kunnen delen is 4.
$4 \cdot 2 = 8$ dus: $\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}$ .
$\sqrt{4}$ kunnen we nog vereenvoudigen want $\sqrt{4} = 2$
Uiteindelijk krijgen we dus $2\sqrt{2}$ , toch?

Bericht door **SafeX** » 28 feb 2015, 11:23

jonie schreef: Een wortel herleiden is blijkbaar nieuw voor me maar volgens mij snap ik het wel een beetje.
Bij $\sqrt{8}$ :
Het grootst mogelijk vierkantsgetal waar we het getal onder wortel kunnen delen is 4.
$4 \cdot 2 = 8$ dus: $\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}$ .
$\sqrt{4}$ kunnen we nog vereenvoudigen want $\sqrt{4} = 2$
Uiteindelijk krijgen we dus $2\sqrt{2}$ , toch?

Prima! En nu:

SafeX schreef: $3^{2\frac{1}{2}} =...$

Uitkomst hiervan is geen mooi getal: 15,58845...

[/quote]

Je hebt nu genoeg aan RR1, maar wel van rechts naar links ...

Wiskundeforum

Gebroken exponenten: Schrijf als macht van 3

Gebroken exponenten: Schrijf als macht van 3

Re: Gebroken exponenten: Schrijf als macht van 3

Re: Gebroken exponenten: Schrijf als macht van 3

Re: Gebroken exponenten: Schrijf als macht van 3

Re: Gebroken exponenten: Schrijf als macht van 3

Re: Gebroken exponenten: Schrijf als macht van 3

Re: Gebroken exponenten: Schrijf als macht van 3

Re: Gebroken exponenten: Schrijf als macht van 3

Re: Gebroken exponenten: Schrijf als macht van 3

Re: Gebroken exponenten: Schrijf als macht van 3

Re: Gebroken exponenten: Schrijf als macht van 3

Re: Gebroken exponenten: Schrijf als macht van 3