Bepaalde integralen

Dit forum is voor het voortgezetonderwijs (of 2de/3de graad ASO), als je in de bovenbouw zit. We gaan er vanuit dat je een Grafische Rekenmachine hebt.
Plaats reactie
Wiskundebrein
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 103
Lid geworden op: 27 jan 2012, 19:41

Bepaalde integralen

Bericht door Wiskundebrein » 13 jun 2015, 18:32

Hallo,

Ik moet de oppervlakte berekenen begrensd door f en g en deze rechten

F(x) =
G(x) =

x = 0
x = 1

De integraal zal als grenzen hebben 0 en 1

Maar hoe zit dat verder?

F(x) + g(x )?
Of min?

Waarom?

Met vriendelijke groeten

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Bepaalde integralen

Bericht door arie » 13 jun 2015, 20:44

De afspraak is dat we functies aangeven met kleine letters, de primitieven van die functies met hoofdletters.
Het is handig om dit aan te houden.

We hebben dus





Maak eens een schets van beide functies.

Welk oppervlak wordt aangegeven door



Geef dat aan in de grafiek (bv arceren).

Doe ditzelfde ook voor het oppervlak corresponderend met



Zie je dan hoe je het gevraagde oppervlak kan berekenen?

Wiskundebrein
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 103
Lid geworden op: 27 jan 2012, 19:41

Re: Bepaalde integralen

Bericht door Wiskundebrein » 13 jun 2015, 21:34

Dat had ik inderdaad gedaan maar ik weet niet hoe ik het verder moet aanpakken

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Bepaalde integralen

Bericht door arie » 13 jun 2015, 22:35

Zoek het niet te ver.

Stel er wordt gevraagd:
Wat is het oppervlak tussen de grafieken van de (constante) functies


en


en de rechten


en


Met andere woorden: we willen het oppervlak weten van de rechthoek begrensd door de lijnen
y = 5
y = 2
x = 0
en
x = 1

Hoe groot is dit oppervlak?

Wat zijn nu de oppervlakten corresponderend met



en



Hoe bereken je hiermee het oppervlak van bovengenoemde rechthoek?

Wiskundebrein
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 103
Lid geworden op: 27 jan 2012, 19:41

Re: Bepaalde integralen

Bericht door Wiskundebrein » 13 jun 2015, 22:48

De tweede integraal aftrekken van het eerste?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Bepaalde integralen

Bericht door arie » 14 jun 2015, 03:52

Klopt.
Precies hetzelfde doe je voor functies f en g
Als het goed is heb je zelf al zo'n soort schets gemaakt:

Afbeelding

In deze figuur is O=(0,0), A=(1,0), B=(1,2) en C=(0,1).

We willen nu het oppervlak berekenen van het gebied tussen de grafieken van f en g voor x=0 t/m x=1,
dus het zuiver gele (= gele maar niet gearceerde) gebied OBC.

Met welke integraal bereken je het oppervlak onder de grafiek van f, dus het zwart gearceerde gebied OAB ?

Met welke integraal bereken je het oppervlak onder de grafiek van g, dus het volledige gele gebied OABC ?

Als je het oppervlak van OABC weet en je weet het oppervlak van OAB, wat is dan het gevraagde (= zuiver gele) oppervlak OBC ?

Welk antwoord vind je als je dit berekent ?

Wiskundebrein
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 103
Lid geworden op: 27 jan 2012, 19:41

Re: Bepaalde integralen

Bericht door Wiskundebrein » 14 jun 2015, 10:57

arie schreef:Klopt.


Met welke integraal bereken je het oppervlak onder de grafiek van f, dus het zwart gearceerde gebied OAB ?
De bepaalde integraal van O tot A met f(x)

Met welke integraal bereken je het oppervlak onder de grafiek van g, dus het volledige gele gebied OABC ?
De bepaalde integraal van O tot A met g(x)

Als je het oppervlak van OABC weet en je weet het oppervlak van OAB, wat is dan het gevraagde (= zuiver gele) oppervlak OBC ?
De tweede integraal min de eerste integraal

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Bepaalde integralen

Bericht door arie » 14 jun 2015, 11:17

Klopt.

Wat betreft de formulering: in plaats van
"De bepaalde integraal van O tot A met f(x)"
schrijven we doorgaans
"De bepaalde integraal van 0 tot 1 van f(x)"
(je integreert naar x, en niet naar punten in het xy-vlak)

Het gevraagde oppervlak vind je (zoals je schreef) door het verschil van deze 2 integralen te berekenen.
Uitrekenen dus.


NOOT: Deze methode werkt omdat functies f en g op/boven de x-as liggen.
Wat gaat er bijvoorbeeld mis bij functies die de x-as snijden?

Wiskundebrein
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 103
Lid geworden op: 27 jan 2012, 19:41

Re: Bepaalde integralen

Bericht door Wiskundebrein » 14 jun 2015, 11:27

Dan reken je maar tot de x-as en verwaarloos je het deel onder de X-as...

Hoe moet het dan wel?

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Bepaalde integralen

Bericht door arno » 14 jun 2015, 11:41

Wiskundebrein schreef:Dan reken je maar tot de x-as en verwaarloos je het deel onder de X-as...

Hoe moet het dan wel?
Laten we eens een voorbeeld nemen. Beschouw de functie f, gedefinieerd door f(x) = x²-1 en laat V het vlakdeel zijn dat begrensd wordt door de grafiek van f, de x- en y-as en de lijn x = 1. Als je dit vlakdeel tekent zul je zien dat de grafiek van f voor 0<x<1 onder de x-as ligt. Omdat de x-as een lijn is die de vergelijking y = 0 heeft, kunnen we de x-as opvatten als de grafiek van een constante functie g, gedefinieerd door g(x) = 0. We kunnen nu de oppervlakte van V berekenen door middel van de bepaalde integraal
. Ga dit aan de hand van het getekende vlakeel na en voer die berekening eens uit.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Wiskundebrein
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 103
Lid geworden op: 27 jan 2012, 19:41

Re: Bepaalde integralen

Bericht door Wiskundebrein » 14 jun 2015, 12:28

Is de integraal van - f(x) dan van de grafiek tot de x-as?

Ik zie het nog niet helemaal in...

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Bepaalde integralen

Bericht door arno » 14 jun 2015, 17:01

Wiskundebrein schreef:Is de integraal van - f(x) dan van de grafiek tot de x-as?

Ik zie het nog niet helemaal in...
Dat is inderdaad hoe je in dit geval de oppervlakte van V vindt. Voer die berekening maar eens uit.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Bepaalde integralen

Bericht door SafeX » 15 jun 2015, 08:15

Wiskundebrein schreef: Ik moet de oppervlakte berekenen begrensd door f en g en deze rechten

F(x) =
G(x) =

x = 0
x = 1

De integraal zal als grenzen hebben 0 en 1
Wiskundebrein schreef:Ik zie het nog niet helemaal in...
Hoe staat het hiermee ...
Hoe ben je aan x=0 en x=1 gekomen ...

Plaats reactie