Bepaalde integralen
-
- Gevorderde
- Berichten: 103
- Lid geworden op: 27 jan 2012, 19:41
Bepaalde integralen
Hallo,
Ik moet de oppervlakte berekenen begrensd door f en g en deze rechten
F(x) =
G(x) =
x = 0
x = 1
De integraal zal als grenzen hebben 0 en 1
Maar hoe zit dat verder?
F(x) + g(x )?
Of min?
Waarom?
Met vriendelijke groeten
Ik moet de oppervlakte berekenen begrensd door f en g en deze rechten
F(x) =
G(x) =
x = 0
x = 1
De integraal zal als grenzen hebben 0 en 1
Maar hoe zit dat verder?
F(x) + g(x )?
Of min?
Waarom?
Met vriendelijke groeten
Re: Bepaalde integralen
De afspraak is dat we functies aangeven met kleine letters, de primitieven van die functies met hoofdletters.
Het is handig om dit aan te houden.
We hebben dus
Maak eens een schets van beide functies.
Welk oppervlak wordt aangegeven door
Geef dat aan in de grafiek (bv arceren).
Doe ditzelfde ook voor het oppervlak corresponderend met
Zie je dan hoe je het gevraagde oppervlak kan berekenen?
Het is handig om dit aan te houden.
We hebben dus
Maak eens een schets van beide functies.
Welk oppervlak wordt aangegeven door
Geef dat aan in de grafiek (bv arceren).
Doe ditzelfde ook voor het oppervlak corresponderend met
Zie je dan hoe je het gevraagde oppervlak kan berekenen?
-
- Gevorderde
- Berichten: 103
- Lid geworden op: 27 jan 2012, 19:41
Re: Bepaalde integralen
Dat had ik inderdaad gedaan maar ik weet niet hoe ik het verder moet aanpakken
Re: Bepaalde integralen
Zoek het niet te ver.
Stel er wordt gevraagd:
Wat is het oppervlak tussen de grafieken van de (constante) functies
en
en de rechten
en
Met andere woorden: we willen het oppervlak weten van de rechthoek begrensd door de lijnen
y = 5
y = 2
x = 0
en
x = 1
Hoe groot is dit oppervlak?
Wat zijn nu de oppervlakten corresponderend met
en
Hoe bereken je hiermee het oppervlak van bovengenoemde rechthoek?
Stel er wordt gevraagd:
Wat is het oppervlak tussen de grafieken van de (constante) functies
en
en de rechten
en
Met andere woorden: we willen het oppervlak weten van de rechthoek begrensd door de lijnen
y = 5
y = 2
x = 0
en
x = 1
Hoe groot is dit oppervlak?
Wat zijn nu de oppervlakten corresponderend met
en
Hoe bereken je hiermee het oppervlak van bovengenoemde rechthoek?
-
- Gevorderde
- Berichten: 103
- Lid geworden op: 27 jan 2012, 19:41
Re: Bepaalde integralen
De tweede integraal aftrekken van het eerste?
Re: Bepaalde integralen
Klopt.
Precies hetzelfde doe je voor functies f en g
Als het goed is heb je zelf al zo'n soort schets gemaakt:
In deze figuur is O=(0,0), A=(1,0), B=(1,2) en C=(0,1).
We willen nu het oppervlak berekenen van het gebied tussen de grafieken van f en g voor x=0 t/m x=1,
dus het zuiver gele (= gele maar niet gearceerde) gebied OBC.
Met welke integraal bereken je het oppervlak onder de grafiek van f, dus het zwart gearceerde gebied OAB ?
Met welke integraal bereken je het oppervlak onder de grafiek van g, dus het volledige gele gebied OABC ?
Als je het oppervlak van OABC weet en je weet het oppervlak van OAB, wat is dan het gevraagde (= zuiver gele) oppervlak OBC ?
Welk antwoord vind je als je dit berekent ?
Precies hetzelfde doe je voor functies f en g
Als het goed is heb je zelf al zo'n soort schets gemaakt:
In deze figuur is O=(0,0), A=(1,0), B=(1,2) en C=(0,1).
We willen nu het oppervlak berekenen van het gebied tussen de grafieken van f en g voor x=0 t/m x=1,
dus het zuiver gele (= gele maar niet gearceerde) gebied OBC.
Met welke integraal bereken je het oppervlak onder de grafiek van f, dus het zwart gearceerde gebied OAB ?
Met welke integraal bereken je het oppervlak onder de grafiek van g, dus het volledige gele gebied OABC ?
Als je het oppervlak van OABC weet en je weet het oppervlak van OAB, wat is dan het gevraagde (= zuiver gele) oppervlak OBC ?
Welk antwoord vind je als je dit berekent ?
-
- Gevorderde
- Berichten: 103
- Lid geworden op: 27 jan 2012, 19:41
Re: Bepaalde integralen
arie schreef:Klopt.
Met welke integraal bereken je het oppervlak onder de grafiek van f, dus het zwart gearceerde gebied OAB ?
De bepaalde integraal van O tot A met f(x)
Met welke integraal bereken je het oppervlak onder de grafiek van g, dus het volledige gele gebied OABC ?
De bepaalde integraal van O tot A met g(x)
Als je het oppervlak van OABC weet en je weet het oppervlak van OAB, wat is dan het gevraagde (= zuiver gele) oppervlak OBC ?
De tweede integraal min de eerste integraal
Re: Bepaalde integralen
Klopt.
Wat betreft de formulering: in plaats van
"De bepaalde integraal van O tot A met f(x)"
schrijven we doorgaans
"De bepaalde integraal van 0 tot 1 van f(x)"
(je integreert naar x, en niet naar punten in het xy-vlak)
Het gevraagde oppervlak vind je (zoals je schreef) door het verschil van deze 2 integralen te berekenen.
Uitrekenen dus.
NOOT: Deze methode werkt omdat functies f en g op/boven de x-as liggen.
Wat gaat er bijvoorbeeld mis bij functies die de x-as snijden?
Wat betreft de formulering: in plaats van
"De bepaalde integraal van O tot A met f(x)"
schrijven we doorgaans
"De bepaalde integraal van 0 tot 1 van f(x)"
(je integreert naar x, en niet naar punten in het xy-vlak)
Het gevraagde oppervlak vind je (zoals je schreef) door het verschil van deze 2 integralen te berekenen.
Uitrekenen dus.
NOOT: Deze methode werkt omdat functies f en g op/boven de x-as liggen.
Wat gaat er bijvoorbeeld mis bij functies die de x-as snijden?
-
- Gevorderde
- Berichten: 103
- Lid geworden op: 27 jan 2012, 19:41
Re: Bepaalde integralen
Dan reken je maar tot de x-as en verwaarloos je het deel onder de X-as...
Hoe moet het dan wel?
Hoe moet het dan wel?
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1923
- Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
- Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant
Re: Bepaalde integralen
Laten we eens een voorbeeld nemen. Beschouw de functie f, gedefinieerd door f(x) = x²-1 en laat V het vlakdeel zijn dat begrensd wordt door de grafiek van f, de x- en y-as en de lijn x = 1. Als je dit vlakdeel tekent zul je zien dat de grafiek van f voor 0<x<1 onder de x-as ligt. Omdat de x-as een lijn is die de vergelijking y = 0 heeft, kunnen we de x-as opvatten als de grafiek van een constante functie g, gedefinieerd door g(x) = 0. We kunnen nu de oppervlakte van V berekenen door middel van de bepaalde integraalWiskundebrein schreef:Dan reken je maar tot de x-as en verwaarloos je het deel onder de X-as...
Hoe moet het dan wel?
. Ga dit aan de hand van het getekende vlakeel na en voer die berekening eens uit.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
-
- Gevorderde
- Berichten: 103
- Lid geworden op: 27 jan 2012, 19:41
Re: Bepaalde integralen
Is de integraal van - f(x) dan van de grafiek tot de x-as?
Ik zie het nog niet helemaal in...
Ik zie het nog niet helemaal in...
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1923
- Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
- Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant
Re: Bepaalde integralen
Dat is inderdaad hoe je in dit geval de oppervlakte van V vindt. Voer die berekening maar eens uit.Wiskundebrein schreef:Is de integraal van - f(x) dan van de grafiek tot de x-as?
Ik zie het nog niet helemaal in...
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Re: Bepaalde integralen
Wiskundebrein schreef: Ik moet de oppervlakte berekenen begrensd door f en g en deze rechten
F(x) =
G(x) =
x = 0
x = 1
De integraal zal als grenzen hebben 0 en 1
Hoe staat het hiermee ...Wiskundebrein schreef:Ik zie het nog niet helemaal in...
Hoe ben je aan x=0 en x=1 gekomen ...