Berekenen minimum

[R10111001]

Mij wordt de volgende vraag gesteld:

Een rechthoekige bak (zonder deksel) heeft een inhoud van 1m³. De breedte van de bak moet 60 cm zijn. De lengte a dm en de hoogte b dm moet je zo kiezen dat de totale oppervlakte van de wanden en bodem zo klein mogelijk is. Bereken de waarden van a en b om dit te bereiken.

Ik weet in ieder geval dat: . Verder lijkt mij dat de totale oppervlakte gelijk is aan de volgende som: . Ik weet echter niet waaraan deze som gelijk is en kan dus niet substitueren. Hoe kom ik op grond van deze informatie nou tot een oppervlaktefunctie waarvan ik het minimum kan berekenen? Alle hulp wordt zeer op prijs gesteld!

[arno]

Ik weet in ieder geval dat: .

Hieruit volgt dus dat . Druk nu de totale oppervlakte eens uit in a. Voor welke waarde van a is deze oppervlakte minimaal en wat is dan de waarde van b?

[R10111001]

Bedankt voor je reactie! Ik begrijp echter niet geheel wat je bedoelt. Als ik de totale oppervlakte uitdruk in a door b te substitueren in kom ik nog niet verder. Ik bekom dan en weet nog niet waaraan deze som gelijk is of hoe ik op grond hiervan een minimum zou kunnen bepalen.

[SafeX]

Je weet wel hoe je een extreem van een functie moet bepalen ... ?

[R10111001]

Ja, de afgeleide gelijk stellen aan 0. Hoezo?

[SafeX]

Ok, dus moet je nu die functie opstellen ...

dit is de opp dus de 'bewuste' functie en nu moet je zorgen dat dit een functie van één variabele wordt bv a ...
Kijk nu naar de hint van arno zodat je voor b=500/(3a) kunt invullen in bovenstaande functie ...

[R10111001]

Ik heb mijn fout met jullie hulp inmiddels ontdekt. Het was inderdaad gewoon zaak uit te drukken als functie van a en deze functie vervolgens te differentiëren. Ik heb in mijn stupiditeit een fout gemaakt in mijn algebra en ging er abusievelijk vanuit dat ik dan zou bekomen, een eerstegraads functie zonder extremen. Maar ik bekom natuurlijk waarvan ik de afgeleide gewoon gelijk kan stellen aan 0. Het verbaast mij overigens wel dat een hyperbool een minimum heeft, met de horizontale asymptoot zou de waarde van y voor toenemende x toch altijd kleiner moeten worden?

[David]

Het verbaast mij overigens wel dat een hyperbool een minimum heeft, met de horizontale asymptoot zou de waarde van y voor toenemende x toch altijd kleiner moeten worden?

Waarom denk je dat de functie die je gaf een horizontale asymptoot heeft? Als x toeneemt verandert er niets, de functie is onafhankelijk van x (maar hangt af van a). Een functie y(x) met een horizontale asymptoot hoeft niet te dalen als x toeneemt. Wat als y = 1/x rond x = -2? Wat als y = -1/x rond x = 2?

[arno]

ik bekom natuurlijk

Merk op dat je hier te maken hebt met een scheve asymptoot. Teken de grafiek maar eens, dan kun je dat zien.