Domein bepalen van een functie

Dit forum is voor het voortgezetonderwijs (of 2de/3de graad ASO), als je in de bovenbouw zit. We gaan er vanuit dat je een Grafische Rekenmachine hebt.
Foton
Vast lid
Vast lid
Berichten: 37
Lid geworden op: 31 mar 2012, 15:36

Re: Domein bepalen van een functie

Bericht door Foton » 04 okt 2015, 21:54

Misschien kan iemand van jullie stappenplan maken voor het oplossen van zo een vraagstuk met een voorbeeld en klein beetje uitleg erbij zodat ik snap wat er precies gebeurt. Het zal zoveel makkelijker zijn dan dit..

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14247
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Domein bepalen van een functie

Bericht door SafeX » 05 okt 2015, 08:34

Je hebt nu twee ongelijkheden:
(2x-5)/x>=0 en 5/x>=0, wat eis/weet je dan van het product: (2x-5)/x*5/x ...
En dat is een ongelijkheid vergelijkbaar met je eerste opgave ... (eens?)
Van (2x-5)/x*5/x weet ik dat als ik die gelijk aan 0 stel, uitkomst is dan voor x=5/2
Met eerste opgave bedoel je de opgave die ik in mijn eerste bericht postte?

Met eerste opgave bedoel je de opgave die ik in mijn eerste bericht postte?
Natuurlijk!


Hoe heb je jouw allereerste opgave opgelost ...
Op dezelfde manier kan je dan deze opgave oplossen ...
(2x-5)/x>=0 en 5/x>=0, wat eis/weet je dan van het product: (2x-5)/x*5/x ...
Dit beantwoord je niet ...

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4935
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Domein bepalen van een functie

Bericht door David » 05 okt 2015, 08:50

Algemeen, stel je wilt het domein onderzoeken van f(x).
f kan bestaan uit veelgebruikte functies waarvan uit de definitie een domein kan worden gevonden.

(Laten we alleen reële invoer- en uitvoer bekijken. Dus x = 3 kan, maar x = i niet.)

Bijvoorbeeld f(x) = x^2 heeft domein R, alle reële getallen want je kan elk getal kwadrateren.

f(x) = ln(x) heeft domein R+, alle positieve getallen. Voor elk getal g > 0 is e^x = g op te lossen voor x (een unieke oplossing)

f(x) = boogsin(x) heeft domein [-1, 1] want sin(x) = g heeft alleen oplossingen voor g in [-1, 1] ofwel -1 <= g <= 1. Er zijn oneindig veel oplossingen voor x dus is de inverse alleen voor een stuk van het domein van sin(x) gedefinieerd, zodat boogsin(x) het bereik [-pi/2, pi/2] heeft.

Nu je opgave voor het bereik van boogsin((x - 5) / x). We hebben al gezien dat het argument, (x - 5) / x, in [-1, 1] moet liggen, ofwel -1 <= (x - 5) / x <= 1 ofwel |(x - 5) / x| <= 1. Allemaal hetzelfde.
Dit zijn ook wel de ongelijkheden -1 <= (x - 5) / x EN (x - 5) / x <= 1
Er zijn verschillende manieren om de ongelijkheden op te lossen.
We kunnen,
Een manier om deze op te lossen is splitten in noemer < 0 en noemer > 0.
Nu is de noemer x dus x < 0 en x > 0.

De eerste ongelijkheid:
(x - 5) / x <= 1
Als x < 0 dan geeft vermenigvuldigen aan beide kanten met de noemer, x:
x - 5 >= x. (Teken klapt om. Waarom?) Dit heeft geen oplossingen voor (bekijk dit nog eens).
Als x > 0 geeft vermenigvuldigen aan beide kanten met de noemer, x:
x - 5 <= x. (Teken klapt niet om) Dit is waar voor alle x (bekijk dit),

dus voor alle x > 0 voldoet
(x - 5) / x <= 1.

Nu de ongelijkheid
-1 <= (x - 5) / x

Kan je die op een vergelijkbare manier oplossen?
(Het geeft misschien veel notatie maar het is een robuuste methode.)

Nog een methode is gebruiken dat als a >= 0 en b >= 0 dan a * b >= 0, als getoond door SafeX.
Het is aan jou om (per opgave) te kiezen wat je de beste methode lijkt. Beide beheersen lijkt me nuttig.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14247
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Domein bepalen van een functie

Bericht door SafeX » 05 okt 2015, 08:56

Foton schreef:
Ken je de definitie van: |a|

Wat weet je van ongelijkheden bv: |a|<1
Absolute waarde van a moet dan kleiner zijn dan 1.
Ik weet van absolute waarden dat ze positief zijn. Bv. absolute waarde van -1 en 1 is |1|
De definitie is: |a|=a als a>=0 en |a|=-a als a<0

Dan betekent: |a|<1 <=> -1<a<1, ga dat na ... (je kan voor a getallen kiezen die wel of niet voldoen aan de eerste ongelijkheid en nagaan wat dat oplevert in je tweede ongelijkheid)

Kan je de grafiek tekenen van f(x)=|x| ... , zo ja, valt je iets op als je kijkt naar -1<=x<=1 ...
Maar dit |(x-5)/x|<=1, dit snap ik niet helemaal. Dus absolute waarde van (x-5)/x moet kleiner of gelijk zijn aan 1? Dus voor elke waarde die je voor x invult, krijg je als uitkomst waarde die kleiner of gelijk is aan 1?
Wat staat er nu tussen de absoluut-strepen ipv a, dus ...

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4935
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Domein bepalen van een functie

Bericht door David » 05 okt 2015, 12:48

foton schreef:Ik weet van absolute waarden dat ze positief zijn.
Als je misschien kan zien in de definitie voor |x| is dat niet het geval als x = 0.
foton schreef: Dus absolute waarde van (x-5)/x moet kleiner of gelijk zijn aan 1?
Ja.
foton schreef: Dus voor elke waarde die je voor x invult, krijg je als uitkomst waarde die kleiner of gelijk is aan 1?
Nee, alleen voor waarden in het domein van boogsin((x - 5) / x). Voor x = -1 krijg je 6, wat een absolute waarde heeft groter dan 1. Je zou boogsin(6) bepalen en die is niet gedefinieerd. Voor x = 0 is (x - 5) / x ongedefinieerd en dus ook boogsin((x - 5) / x).
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Foton
Vast lid
Vast lid
Berichten: 37
Lid geworden op: 31 mar 2012, 15:36

Re: Domein bepalen van een functie

Bericht door Foton » 05 okt 2015, 20:55

Bedankt voor de uitleg. Ik snap het denk ik.
Ik heb deze functie opgelost met de methode van SafeX.
Is dit goed zo?


Als de foto niet volledig te zien is, klik op de link onder de foto..

Afbeelding



http://oi58.tinypic.com/2mwcvnb.jpg

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14247
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Domein bepalen van een functie

Bericht door SafeX » 05 okt 2015, 21:21

Je hebt:



Je hebt geen formule nodig om na te gaan waar de teller 0 is , eveneens voor de noemer (let wel op het kwadraat!)
Maak nog eens het tekenverloopschema ...

Foton
Vast lid
Vast lid
Berichten: 37
Lid geworden op: 31 mar 2012, 15:36

Re: Domein bepalen van een functie

Bericht door Foton » 05 okt 2015, 22:27

SafeX schreef:Je hebt:



Je hebt geen formule nodig om na te gaan waar de teller 0 is , eveneens voor de noemer (let wel op het kwadraat!)
Maak nog eens het tekenverloopschema ...
Was de vorige tabel niet correct? Of?

Hier heb ik een nieuwe gemaakt, maar ik weet niet of 3-7x er twee keer moet staan of niet.

http://i62.tinypic.com/15rnsz7.jpg

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14247
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Domein bepalen van een functie

Bericht door SafeX » 06 okt 2015, 07:35

Foton schreef: Was de vorige tabel niet correct? Of?
Merkwaardig is dat jouw antwoord goed is, maar niet overeenstemt met jouw teken overzicht ...

Als de eerste breuk groter of gelijk 0 moet zijn en de tweede breuk ... (vul zelf aan!), wat weet je dan van het product?

Je tweede overzicht is niet duidelijk ...

Werken met breuken: 1/2*2/3=... , 3/5*2/7= ... , algemeen: a/b*c/d= ... , bijzonder: a/b*b/a= ...

Vraag: als je noemer een kwadraat is (bv x^2) wat weet je dan van het teken ... (pas op voor x=0)

Extra vraag: vind je dat ik moeilijke vragen stel? Welke vragen van jou beantwoord ik niet?

Foton
Vast lid
Vast lid
Berichten: 37
Lid geworden op: 31 mar 2012, 15:36

Re: Domein bepalen van een functie

Bericht door Foton » 06 okt 2015, 12:21

SafeX schreef:


Als de eerste breuk groter of gelijk 0 moet zijn en de tweede breuk ... (vul zelf aan!), wat weet je dan van het product?
Tweede breuk kleiner of gelijk aan 0
Product, hmm.. Geen idee.
Je tweede overzicht is niet duidelijk ...

Werken met breuken: 1/2*2/3=... , 3/5*2/7= ... , algemeen: a/b*c/d= ... , bijzonder: a/b*b/a= ...

Vraag: als je noemer een kwadraat is (bv x^2) wat weet je dan van het teken ... (pas op voor x=0)
Dan is het positief, want ook -*-=+
Extra vraag: vind je dat ik moeilijke vragen stel? Welke vragen van jou beantwoord ik niet?
Ik moet vaak opnieuw lezen om te begrijpen wat je ermee bedoelt en waarom je ze eigenlijk stelt.. Ik bedoel sommige vragen dan.

Het probleem is dat ik nog veel vragen heb, met deze tempo kom ik niet echt vooruit. Het is wel goed dat je vragen stelt om al die regeltjes op te frissen, maar ik heb niet veel tijd meer. Uit je uitleg en verbetering kan ik ze ook wel afleiden. Ik ben 24 en zit in mijn eerste BCs industrieel ingenieur, alles gaat super snel en ik zit hier maar een functie op te lossen. Dit zijn opwarmingsoefeningen uit de eerste werkcollege wiskunde. Dus ik heb liever snelle uitleg en verbetering ipv veel vragen. Als dat kan natuurlijk. En echt super bedankt voor jullie tijd.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14247
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Domein bepalen van een functie

Bericht door SafeX » 06 okt 2015, 13:31

Foton schreef:
SafeX schreef: Als de eerste breuk groter of gelijk 0 moet zijn en de tweede breuk ... (vul zelf aan!), wat weet je dan van het product?
Tweede breuk kleiner of gelijk aan 0
Product, hmm.. Geen idee.
een getal bv 2>=0 en een getal -3<=0, wat is dan het product ...
Je tweede overzicht is niet duidelijk ...
Niet eens ... ?
Werken met breuken: 1/2*2/3=... , 3/5*2/7= ... , algemeen: a/b*c/d= ... , bijzonder: a/b*b/a= ...
Graag antwoorden ... (je moet toch met breuken kunnen werken!?!)

Vraag: als je noemer een kwadraat is (bv x^2) wat weet je dan van het teken ... (pas op voor x=0)

Dan is het positief, want ook -*-=+
Correct! Wat wordt nu je tekenoverzicht ...


Het probleem is dat ik nog veel vragen heb, met deze tempo kom ik niet echt vooruit.
Het tempo bepaal je zelf!
Als je deze basisvaardigheden niet onder de knie hebt, kan je de gegeven opgaven niet maken ...

Foton
Vast lid
Vast lid
Berichten: 37
Lid geworden op: 31 mar 2012, 15:36

Re: Domein bepalen van een functie

Bericht door Foton » 06 okt 2015, 14:09

SafeX schreef:
Foton schreef:
SafeX schreef: Als de eerste breuk groter of gelijk 0 moet zijn en de tweede breuk ... (vul zelf aan!), wat weet je dan van het product?
Tweede breuk kleiner of gelijk aan 0
Product, hmm.. Geen idee.
een getal bv 2>=0 en een getal -3<=0, wat is dan het product ...
Negatief, of 0
Je tweede overzicht is niet duidelijk ...
Niet eens ... ?


Kan wel.
Werken met breuken: 1/2*2/3=... , 3/5*2/7= ... , algemeen: a/b*c/d= ... , bijzonder: a/b*b/a= ...
Graag antwoorden ... (je moet toch met breuken kunnen werken!?!)
a/b * c/d = ac/bd

a/b * b/a = 1

Kan ik met breuken werken?!

Vraag: als je noemer een kwadraat is (bv x^2) wat weet je dan van het teken ... (pas op voor x=0)

Dan is het positief, want ook -*-=+
Correct! Wat wordt nu je tekenoverzicht ...
Ik beantwoord deze als ik thuis ben.
Het probleem is dat ik nog veel vragen heb, met deze tempo kom ik niet echt vooruit.

Het tempo bepaal je zelf!
Als je deze basisvaardigheden niet onder de knie hebt, kan je de gegeven opgaven niet maken ...
Ik ben niet volledig mee eens. Nogmaals, als ik step by step oplossing zie met een klein beetje uitleg erbij, regeltjes kan ik dan daaruit afleiden, als het nodig is. Dat zal sneller gaan dan wat we nu doen. Denk ik.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14247
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Domein bepalen van een functie

Bericht door SafeX » 06 okt 2015, 15:04

Foton schreef:
SafeX schreef: een getal bv 2>=0 en een getal -3<=0, wat is dan het product ...
Negatief, of 0


Ok, dan ook toepassen in je tekenoverzicht ...

Datzelfde geldt dus ook bij het product van beide breuken (zoals je nu hebt laten zien!)

Ik ben niet volledig mee eens.
Tot nu toe zijn je problemen allemaal zeer elementair ...

Verder geven we geen kant en klare uitwerkingen. Weet je ook waarom?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14247
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Domein bepalen van een functie

Bericht door SafeX » 06 okt 2015, 15:13

Nu nog:

Grafiek van f(x)=|x| ...

Volgt daaruit: |x|<1 <=> -1<x<1? Dit is van belang voor jouw ongelijkheden zoals:


David
Moderator
Moderator
Berichten: 4935
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Domein bepalen van een functie

Bericht door David » 08 okt 2015, 07:03

foton schreef:Uit je uitleg en verbetering kan ik ze ook wel afleiden.
Je kan bijvoorbeeld Khan Academy bekijken op YouTube voor uitleg en stappen. Andere fora geven meer uitwerkingen dan hier, maar het zou ongeveer een herhaling zijn van dergelijke videos (bij deze opgaven). Elk zijn voor- en nadelen.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Plaats reactie