Berekenen booglengte met integraalrekening

Dit forum is voor het voortgezetonderwijs (of 2de/3de graad ASO), als je in de bovenbouw zit. We gaan er vanuit dat je een Grafische Rekenmachine hebt.
R10111001
Vast lid
Vast lid
Berichten: 37
Lid geworden op: 07 jul 2015, 15:33

Berekenen booglengte met integraalrekening

Bericht door R10111001 » 11 feb 2016, 22:15

Mij wordt de volgende vraag gesteld:
Gegeven is de functie . Bereken de lengte van de grafiek van f op het interval [0;2].

Ik maak hiertoe gebruik van de integraal . Voor de afgeleide van f bekom ik uiteraard , zodat ik moet primitiveren om aan de hand van de integraal de booglengte te berekenen. Ik bekom de volgende primitieve: . Ik moet hier ergens een fout maken, het antwoord dat ik bekom is en is dus veel te klein (het in het boek vermelde antwoord is , wat overeenstemt met een ruwe schatting). Zou iemand mij kunnen vertellen welke fout ik hier bega? Alle hulp wordt zeer gewaardeerd.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Berekenen booglengte met integraalrekening

Bericht door arie » 11 feb 2016, 23:43

Je primitieve is:



Differentieer dit product eens.
Wat gaat er mis?


Hint: los je integraal op door eerst 1 of meer geschikte substitutie(s) toe te passen.

R10111001
Vast lid
Vast lid
Berichten: 37
Lid geworden op: 07 jul 2015, 15:33

Re: Berekenen booglengte met integraalrekening

Bericht door R10111001 » 12 feb 2016, 11:17

Bedankt voor je reactie! Ik zie nu inderdaad in dat ik bij het differentiëren van uit moet gaan van de productregel. Mijn fout is dat ik totaal vergeten ben de eerste factor zelf ook te differentiëren. Als ik mijn gevonden primitieve nu differentieer bekom ik: (is dit juist?). Dit is uiteraard niet hetzelfde als , de primitieve is dus niet juist. Het probleem ontstaat denk ik door de extra factor die ontstaat bij het differentiëren en die ik dientengevolge ook terug laat komen in de primitieve als . Ik zie echter niet in hoe ik aan dit probleem zou kunnen ontkomen. En wat bedoel je precies met 1 of meer geschikte substitutie(s)?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Berekenen booglengte met integraalrekening

Bericht door arie » 12 feb 2016, 11:56

Stel bijvoorbeeld



Druk eerst dx uit in u, en druk vervolgens de hele integraal uit in u en du.
Komen we dan al wat verder?


PS:







etc.

R10111001
Vast lid
Vast lid
Berichten: 37
Lid geworden op: 07 jul 2015, 15:33

Re: Berekenen booglengte met integraalrekening

Bericht door R10111001 » 12 feb 2016, 12:55

De wijze waarop jij de productregel toepast is veel doorzichtiger dan de wijze waarop ik dat heb gedaan (ik ben uitgegaan van maar differentieert veel eenvoudiger). Ik zie nu ook dat ik een fout gemaakt heb in de tweede term (die telt op tot , hetgeen logisch is want dit is het gedeelte waar ik mijn primitieve oorspronkelijk op baseerde. Mijn excuses, maar ik begrijp vooralsnog echter nog steeds niet wat je precies bedoelt met de hele integraal uitdrukken in u en du.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Berekenen booglengte met integraalrekening

Bericht door arie » 12 feb 2016, 13:11

Zie bijvoorbeeld
http://i2s.nl/substitutieregel-bij-integreren/
of wat uitgebreider:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Integrati ... ubstitutie

Heb je dit al behandeld gekregen?

R10111001
Vast lid
Vast lid
Berichten: 37
Lid geworden op: 07 jul 2015, 15:33

Re: Berekenen booglengte met integraalrekening

Bericht door R10111001 » 19 feb 2016, 22:02

Bedankt voor je laatste reactie, naar aanleiding daarvan heb ik eerst eens goed gekeken naar de integreertechniek van u-substitutie.
Stel bijvoorbeeld



Druk eerst dx uit in u, en druk vervolgens de hele integraal uit in u en du.
Komen we dan al wat verder?
Ook met u-substitutie kom ik niet verder. Hoe ik ook substitueer of dubbel substitueer, ik blijf met het probleem zitten dat ik de afgeleide van niet kan bekomen die benodigd is om de integraal uit te drukken als (waar ). Is deze integraal überhaupt te primitiveren?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Berekenen booglengte met integraalrekening

Bericht door arie » 19 feb 2016, 22:47

Als



dan is



en



Dit kan je direct substitueren in je integraal:



Dit zal je ook gevonden hebben.
Deze integraal is inderdaad nog steeds wat ingewikkeld, maar we zijn de exponentiele functie kwijt.
Herleid dit resultaat nu verder met de substitutie



Wat kom je dan op uit?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Berekenen booglengte met integraalrekening

Bericht door SafeX » 20 feb 2016, 09:53

Stel: u^2=1+e^(2x), dat werkt directer ...

R10111001
Vast lid
Vast lid
Berichten: 37
Lid geworden op: 07 jul 2015, 15:33

Re: Berekenen booglengte met integraalrekening

Bericht door R10111001 » 20 feb 2016, 14:44

arie schreef:Als



dan is



en



Dit kan je direct substitueren in je integraal:

Tot hier ben ik inderdaad akkoord. Maar ook als ik uit ga van kom ik er nog niet uit. Ik bekom of de differentiaal , of de differentiaal . In beide gevallen kom ik evenwel niet van die hatelijke af.
SafeX schreef:Stel: u^2=1+e^(2x), dat werkt directer ...
Zou je hier iets meer over kunnen uitweiden?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Berekenen booglengte met integraalrekening

Bericht door arie » 20 feb 2016, 16:51

R10111001 schreef: Maar ook als ik uit ga van kom ik er nog niet uit. Ik bekom of de differentiaal , of de differentiaal . In beide gevallen kom ik evenwel niet van die hatelijke af.
Als

dan is

Gebruik het eerste in de teller en het tweede in de noemer van de integrand.
Samen met du = 2t dt levert dit een integraal in t.
Kan je de breuk die nu ontstaat splitsen?

R10111001
Vast lid
Vast lid
Berichten: 37
Lid geworden op: 07 jul 2015, 15:33

Re: Berekenen booglengte met integraalrekening

Bericht door R10111001 » 20 feb 2016, 18:14

Ik ben reeds uitgegaan van , maar dan bekom ik of . Ik zie niet in hoe ik deze breuk eventueel zou kunnen splitsen. Ook als ik uitga van de inverse productregel met loop ik dood.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Berekenen booglengte met integraalrekening

Bericht door arie » 20 feb 2016, 18:23



Kan je nu een A en een B vinden, zodanig dat


R10111001
Vast lid
Vast lid
Berichten: 37
Lid geworden op: 07 jul 2015, 15:33

Re: Berekenen booglengte met integraalrekening

Bericht door R10111001 » 20 feb 2016, 19:52

arie schreef:

Kan je nu een A en een B vinden, zodanig dat

Voor en geldt dat , maar dit is denk ik niet wat je bedoelt? Sorry, maar ik zie alleszins nog niet hoe het nu verder moet.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Berekenen booglengte met integraalrekening

Bericht door arie » 20 feb 2016, 20:49

Ik bedoelde A en B constanten onafhankelijk van t.
Voor achtergrondinfo over breuksplitsing, zie bv https://nl.wikipedia.org/wiki/Breuksplitsing
Daar staat bij toeval ook al ongeveer het antwoord op ons probleem.

Waar het op neerkomt is dat je de noemers van de 2 termen gelijknamig maakt, zodat je de breuken kan optellen:









We zoeken nu constanten A en B, zodanig dat deze breuk gelijk is aan de oorspronkelijke breuk



Dan moet dus gelden:

A + B = 0
B - A = 1

Wat is de oplossing van dit stelsel van 2 vergelijkingen met 2 onbekenden (A en B)?

Plaats reactie