Wiskundeforum

arie schreef:
We zoeken nu constanten A en B, zodanig dat deze breuk gelijk is aan de oorspronkelijke breuk

$\frac{(A+B)t+(B-A)}{(t-1)(t+1)} \;=\; \frac{1}{(t+1)(t-1)}$

Dan moet dus gelden:

A + B = 0
B - A = 1

Wat is de oplossing van dit stelsel van 2 vergelijkingen met 2 onbekenden (A en B)?

Dan is $A \;=\; -\frac{1}{2}$ en $B \;=\; \frac{1}{2}$ . Ik heb de oplossing inmiddels gevonden en ben uitgegaan van ongeveer hetzelfde: $\int \frac{1}{t^{2}-1}dt \;=\;$ $\int 1+\frac{1}{(t+1)(t-1)} \;=\;$ $\int 1+\frac{\frac{1}{2}}{t-1}-\frac{\frac{1}{2}}{t+1}$ $\;=\;\left [ t + \frac{1}{2}ln(\frac{t-1}{t+1}) \right ]$ . Het enige verschil is dat op deze wijze geldt $A \;=\; \frac{1}{2}$ en $B \;=\; \frac{1}{2}$ . Ik heb vervolgens de ondergrens en de bovengrens van de integraal uitgedrukt in $t$ met als ondergrens $\sqrt{2}$ en als bovengrens $\sqrt{1+e^{4}}$ en bekom nu hetzelfde antwoord als in het boek ( $\approx 6.7887$ ). Ontzettend bedankt voor je geduld en alle hulp, ik had er alleen nooit uitgekomen!

Mooi, en probeer nu de andere substitutie ...

SafeX schreef:Mooi, en probeer nu de andere substitutie ...

De andere substitutie is inderdaad minder omslachtig omdat we dan met één substitutie toekunnen:

$\int_{0}^{2}\sqrt{1+e^{2x}}dx$ met $u = \sqrt{1+e^{2x}}$ zodat $x = \frac{1}{2}ln(u^{2}-1)$ en $dx=\frac{u}{u^{2}-1}du$ .

We kunnen de integraal dan herschrijven als $\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{1+e^{4}}}\frac{u^{2}}{u^{2}-1}du$ en kunnen dan op analoge wijze oplossen met behulp van breuksplitsing. Rest mij tot besluit nog één vraag omtrent dit onderwerp. In mijn boek wordt $\int_{0}^{2}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}dx$ gegeven als voorbeeld van een integraal die niet bepaald kan worden door middel van primitiveren, maar hoe kun je dat weten? Ofwel, hoe is te bepalen dat een integraal wel of niet geprimitiveerd kan worden?

Het vb dat je noemt is wel duidelijk omdat een factor x ontbreekt ...
In 't algemeen is dat vaak niet eenvoudig en zal proberen misschien nodig zijn ...

Opm: in jouw opgave druk je x uit in u, prima! Maar voor de grenzen van u heb je dat niet nodig ... ?

Wiskundeforum

Berekenen booglengte met integraalrekening

Re: Berekenen booglengte met integraalrekening

Re: Berekenen booglengte met integraalrekening

Re: Berekenen booglengte met integraalrekening

Re: Berekenen booglengte met integraalrekening