Profielwerkstuk
Geplaatst: 23 dec 2016, 15:16
Hallo,
Ik maak mijn profielwerkstuk voor het vak wiskunde. Het onderwerp is de Riemann-hypothese, maar ondertussen ben ik afgedwaald naar de priemgetalstelling. Deze probeer ik nu te bewijzen, en dat gaat best aardig, al zeg ik het zelf. Inmiddels ben ik er al uit dat
=\sum_{n\leq x}'\frac{\Lambda(n)}{n^s}=-\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\frac{x^s}{s}\text{d}s)
waarin)
de tweede Chebyshevfunctie is, )
de Von-Mangoldtfuncite is, en 
. Daarnaast weet ik dat
}{\zeta(s)}\frac{x^s}{s}\text{d}s=2\pi i \left(\ln(2\pi)+\frac{1}{2}\ln\left(1-\frac{1}{x^2}\right)+\sum_{\rho}\frac{x^{\rho}}{\rho}-x\right))
Volgens de residustelling van Cauchy.
Met
een niet-triviaal nulpunt van de zetafunctie en 
de contourintegraal rond de singulariteiten van }{\zeta(s)}\frac{x^s}{s})
. De expliciete formule voor is
=x-\ln(2\pi)-\frac{1}{2}\ln\left(1-\frac{1}{x^2}\right)-\sum_{\rho}\frac{x^{\rho}}{\rho})
Om deze aan te tonen, moet je dus aantonen dat
}{\zeta(s)}\frac{x^s}{s}\text{d}s=\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\frac{x^s}{s}\text{d}s)
zo dacht ik. Daarom heb ik de contourintegraal opgedeeld in vier stukken:
, 
(een halve cirkel met straal oneindig), 
en natuurlijk 
. Ik denk nu dat ik moet bewijzen dat de eerste drie lijnintegralen gelijk zijn aan 
. (Voor het gemak heb ik de integrand en 
even weggelaten.) Klopt dit? Ik kan nergens op internet een document vinden waarin de PGS en de expliciete formule op zo'n manier worden bewezen. Alvast bedankt,
Friso
Ik maak mijn profielwerkstuk voor het vak wiskunde. Het onderwerp is de Riemann-hypothese, maar ondertussen ben ik afgedwaald naar de priemgetalstelling. Deze probeer ik nu te bewijzen, en dat gaat best aardig, al zeg ik het zelf. Inmiddels ben ik er al uit dat
waarin
Volgens de residustelling van Cauchy.
Met
Om deze aan te tonen, moet je dus aantonen dat
zo dacht ik. Daarom heb ik de contourintegraal opgedeeld in vier stukken:
Friso